はさみうちの原理

はさみうちの原理を利用する問題です。

1.(高知医大)
(1) x>0のとき,x,~x-x^3,~\sin xの大小を調べよ.
(2) (1)を利用して,x<0のとき,x,~x-x^3,~\sin xの大小を調べよ.
(3) (1), (2)の結果を利用して,{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x-x}{x^2}を求めよ.
(4) (3)を利用して,{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sqrt{x+1}\sin x-x}{x^2}を求めよ.

2.(昭和大)
次の各問いに答えよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1) x>0のとき,x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)<x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{2x^3}{3}であることを証明せよ.
(2) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\left\{\dfrac{1}{\log(1+x)}-\dfrac{1}{x}\right\}を求めよ.

3.(東京工業大)
実数xに対し,x以上の最小の整数をf(x)とする.a,~bを正の実数とするとき,極限{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x^c\left\{\dfrac{1}{f(ax-7)}-\dfrac{1}{f(bx+3)}\right\}が収束するような実数cの最大値と,そのときの極限値を求めよ.

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