はさみうちの原理

2016年11月30日

はさみうちの原理を利用する問題です。

１．(高知医大)
(1) $x>0$ のとき， $x,~x-x^3,~\sin x$ の大小を調べよ．
(2) (1)を利用して， $x<0$ のとき， $x,~x-x^3,~\sin x$ の大小を調べよ．
(3) (1), (2)の結果を利用して， ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x-x}{x^2}$ を求めよ．
(4) (3)を利用して， ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sqrt{x+1}\sin x-x}{x^2}$ を求めよ．

２．(昭和大)
次の各問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1) $x>0$ のとき， $x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)<x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{2x^3}{3}$ であることを証明せよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\left\{\dfrac{1}{\log(1+x)}-\dfrac{1}{x}\right\}$ を求めよ．

３．(東京工業大)
実数 $x$ に対し， $x$ 以上の最小の整数を $f(x)$ とする． $a,~b$ を正の実数とするとき，極限 ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}x^c\left\{\dfrac{1}{f(ax-7)}-\dfrac{1}{f(bx+3)}\right\}$ が収束するような実数 $c$ の最大値と，そのときの極限値を求めよ．