三角関数の微分(発展)

三角関数の極限と微分の問題です。

1.(東北大)
0<u<\dfrac{\pi}{4},~0<\theta<\dfrac{\pi}{2}とする.
(1) \dfrac{1}{\tan u}-\dfrac{2}{\tan 2u}を簡単にせよ.
(2) 無限級数{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{\theta}{2^n}の和を求めよ.ただし,{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\tan x}{x}=1を用いてよい.

2.(名古屋大)
実数xおよび自然数nに対して,a_n=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2^2}\cdots\cos\dfrac{x}{2^n}とする.
(1) 2^na_n\sin\dfrac{x}{2^n}の値は,nと無関係に一定であることを証明せよ.
(2) \log|a_n|xで微分することにより{\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}}\dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{\pi}{2^n}=\dfrac{1}{\pi}を証明せよ.

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