三角関数の微分(発展)

2016年11月30日

三角関数の極限と微分の問題です。

１．(東北大)
$0<u<\dfrac{\pi}{4},~0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とする．
(1) $\dfrac{1}{\tan u}-\dfrac{2}{\tan 2u}$ を簡単にせよ．
(2) 無限級数 ${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{\theta}{2^n}$ の和を求めよ．ただし， ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\tan x}{x}=1$ を用いてよい．

２．(名古屋大)
実数 $x$ および自然数 $n$ に対して， $a_n=\cos\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2^2}\cdots\cos\dfrac{x}{2^n}$ とする．
(1) $2^na_n\sin\dfrac{x}{2^n}$ の値は， $n$ と無関係に一定であることを証明せよ．
(2) $\log|a_n|$ を $x$ で微分することにより ${\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}}\dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{\pi}{2^n}=\dfrac{1}{\pi}$ を証明せよ．