三角関数の極限の応用(発展)

三角関数の極限の応用問題です。

1.(東京工業大)
(1) 半径1の円に内接する6個の半径の等しい円を図1のように描く.さらに図2のように6個の小さな半径の等しい円を描く.この操作を無限にくり返したとき,6個ずつ次々に描かれる円の面積の総和S_2と,それらの円の円周の長さの和C_2を求めよ.
(2) (1)で6個の円を次々に描いていった.一般に,自然数n \geqq 2に対して3n個の円を用いて同様の操作を行うとき,描かれる円の面積の総和S_nと,それらの円の円周の長さの総和C_nを求めよ.
(3) 数列S_2,~S_3,~S_4,~\cdotsの極限値を求めよ.

2.(東京工業大)
nを自然数とする.半径\dfrac{1}{n}の円を互いに重なり合わないように半径1の円に外接させる.このとき外接する円の最大個数をa_nとする.{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{n}を求めよ.

3.(東京大)
nを2以上の整数とする.平面上にn+2個の点\mbox{O},~\mbox{P}_0,~\mbox{P}_1,~\cdots,~\mbox{P}_nがあり,次の2つの条件を満たしている.
(A) \angle\mbox{P}_{k-1}\mbox{OP}_k=\dfrac{\pi}{n}~(1 \leqq k \leqq n),~\angle\mbox{OP}_{k-1}\mbox{P}_k=\angle\mbox{OP}_0\mbox{P}_1~(2 \leqq k \leqq n)
(B) 線分\mbox{OP}_0の長さは1,線分\mbox{OP}_1の長さは1+\dfrac{1}{n}である.
線分\mbox{P}_{k-1}\mbox{P}_kの長さをa_kとし,s_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}a_kとおくとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}s_nを求めよ.

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