指数・対数関数の極限(発展)

指数・対数関数の極限の問題です。

1.(早稲田大)
(1) a,~bを実数とする.a<b,~a=b,~a>bのそれぞれの場合に,極限{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\log_x(x^a+x^b)を求めよ.
(2) a,~ba^2+b^2 \leqq 1を満たす実数とする.L={\displaystyle\lim_{x \to \infty}}\log_x(2x^a+x^{\frac{b}{2}})を最小にするa,~b,および,そのときのLの値を求めよ.

2.(慶応大)
(1) 関数f(x)はすべての実数に対して定義され,微分可能であってf(0)=0となるものとする.このとき,
g(x)=\dfrac{f(x)}{x} (x \ne 0のとき)
f'(0) (x=0のとき)
とおけば,g(x)x=0において連続となる.このことを微分係数の定義を用いて証明せよ.
(2) 3つの正の定数a,~b,~cが与えられたとき,次の極限値を求めよ.
(ⅰ) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1}{x}\log\left(\dfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)
(ⅱ) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\left(\dfrac{a^x+b^x+c^x}{3}\right)^{\frac{1}{x}}

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