高次導関数1(発展)

高次導関数の問題です。

1.(首都大)
関数f(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})に対して
(1) 関数f(x)の導関数はf'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}であることを示せ.
(2) 関数f(x)の第2次導関数をf''(x)とするとき,
(x^2+1)f''(x)+xf'(x)=0
が成り立つことを示せ.
(3) 任意の自然数nに対して,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
(x^2+1)f^{(n+1)}(x)+(2n-1)xf^{(n)}(x)+(n-1)^2f^{(n-1)}(x)=0
ただし,f^{(0)}=f(x)とし,自然数kに対して,f^{(k)}f(x)の第k次導関数を表す.
(4) 値f^{(9)}(0)およびf^{(10)}(0)を求めよ.

2.(静岡大)
関数f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}~(-1<x<1)について,
(1) f'(x),~f''(x)を求め,(1-x^2)f''(x)-3xf'(x)-f(x)=0が成り立つことを示せ.
(2) (1-x^2)f^{(n+1)}(x)-(2x+1)xf^{(n)}(x)-n^2f^{(n-1)}(x)=0~(n \geqq 1)が成り立つことをnに関する数学的帰納法を用いて示せ.ただし,f^{(0)}(x)=f(x)とする.
(3) f^{(n)}(0)を求めよ.

3.(三重大)
正の整数nに対し,xの整式T_n(x)が等式T_n(\cos\theta)=\cos n\thetaをすべての実数\thetaに対し満たしているとする.
(1) T_1(x)およびT_2(x)を求めよ.
(2) T_n(x)の導関数T_n'(x)に対し,\sin n\theta=\dfrac{1}{n}T_n'(\cos\theta)\sin\thetaがすべての\thetaに対し成立することを示せ.
(3) \cos n\theta=\cos\theta\cos(n-1)\theta-\sin\theta\sin(n-1)\thetaを用いて,
T_n(x)=xT_{n-1}(x)+\dfrac{1}{n-1}(x^2-1)T_{n-1}'(x)~(-1 \leqq x \leqq 1)
n \geqq 2に対し成立することを示せ.
(4) T_3(x)およびT_4(x)を求めよ.

4.(東京工業大)
関数f_n(x)~(n=1,~2,~\cdots)を次の漸化式により定める.
f_1(x)=x^2,~f_{n+1}(x)=f_n(x)+x^3f_n^{(2)}(x)
ただし,f_n^{(k)}(x)f_n(x)の第k次導関数を表す.
(1) f_n(x)(n+1)次多項式であることを示し,x^{n+1}の係数を求めよ.
(2) f_n^{(1)}(0),~f_n^{(2)}(0),~f_n^{(3)}(0),~f_n^{(4)}(0)を求めよ.

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