高次導関数2(発展)

2018年9月3日

高次導関数の続きです。

1.(同志社大)
nを自然数とし,y=\dfrac{1}{1+e^x}とする.第n次導関数\dfrac{d^ny}{dx^n}は,xを含まないyの式で表すと,y(n+1)次式になることが知られている.このy(n+1)次式をf_n(y)とする.また,f_n(y)y^{n+1}の係数をa_ny^nの係数をb_nとする.
(1) e^xxを含まないyの式で表せ.
(2) f_1(y)を求めよ.また,a_1,~b_1を求めよ.
(3) a_2,~b_2を求めよ.
(4) 数列\{a_n\}を考える.a_{n+1}a_nnの式で表せ.また,数列\{a_n\}の一般項を求めよ.
(5) 数列\{b_n\}を考える.b_{n+1}b_nnの式で表せ.また,数列\{b_n\}の一般項を求めよ.

2.(東京慈恵会医大)
関数f(x)n回微分して得られる関数をf(x)n次導関数といい,
\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)またはf^{(n)}(x)と表す.自然数nについて,関数x^n\log x\cdots①のn次導関数を求めたい.ただし,対数は自然対数である.
(1) \dfrac{d}{dx}(x\log x)および\dfrac{d^2}{dx^2}(x^2\log x)を求めよ.
(2) 関数①のn次導関数は次の形であることが予想される.
\dfrac{d^n}{dx^n}(x^n\log x)=a_n\log x+b_n, a_n,~b_nは変数xに依存しないある整数…②
②が成り立つことを証明せよ.
(3) a_n,~b_nのそれぞれに関する漸化式を記し,a_n,~b_nnを用いた式で表せ.ただし,1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}のような,これ以上簡単にできない数列の和が現れた場合は,そのままの形で表せばよい.

3.(東京大)
x>0に対しf(x)=\dfrac{\log x}{x}とする.
(1) n=1,~2,~\cdotsに対しf(x)の第n次導関数は,数列\{a_n\},~\{b_n\}を用いて
f^{(n)}(x)=\dfrac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}
と表されることを示し,a_n,~b_nに関する漸化式を求めよ.
(2) h_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{k}とおく.h_nを用いてa_n,~b_nの一般項を求めよ.

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