高次導関数２(発展)

2016年11月30日2018年9月3日

高次導関数の続きです。

１．(同志社大)
$n$ を自然数とし， $y=\dfrac{1}{1+e^x}$ とする．第 $n$ 次導関数 $\dfrac{d^ny}{dx^n}$ は， $x$ を含まない $y$ の式で表すと， $y$ の $(n+1)$ 次式になることが知られている．この $y$ の $(n+1)$ 次式を $f_n(y)$ とする．また， $f_n(y)$ の $y^{n+1}$ の係数を $a_n$ ， $y^n$ の係数を $b_n$ とする．
(1) $e^x$ を $x$ を含まない $y$ の式で表せ．
(2) $f_1(y)$ を求めよ．また， $a_1,~b_1$ を求めよ．
(3) $a_2,~b_2$ を求めよ．
(4) 数列 $\{a_n\}$ を考える． $a_{n+1}$ を $a_n$ を $n$ の式で表せ．また，数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
(5) 数列 $\{b_n\}$ を考える． $b_{n+1}$ を $b_n$ を $n$ の式で表せ．また，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ．

２．(東京慈恵会医大)
関数 $f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数を $f(x)$ の $n$ 次導関数といい，
$\dfrac{d^n}{dx^n}f(x)$ または $f^{(n)}(x)$ と表す．自然数 $n$ について，関数 $x^n\log x\cdots$ ①の $n$ 次導関数を求めたい．ただし，対数は自然対数である．
(1) $\dfrac{d}{dx}(x\log x)$ および $\dfrac{d^2}{dx^2}(x^2\log x)$ を求めよ．
(2) 関数①の $n$ 次導関数は次の形であることが予想される．
$\dfrac{d^n}{dx^n}(x^n\log x)=a_n\log x+b_n$ , $a_n,~b_n$ は変数 $x$ に依存しないある整数…②
②が成り立つことを証明せよ．
(3) $a_n,~b_n$ のそれぞれに関する漸化式を記し， $a_n,~b_n$ を $n$ を用いた式で表せ．ただし， $1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ のような，これ以上簡単にできない数列の和が現れた場合は，そのままの形で表せばよい．

３．(東京大)
$x>0$ に対し $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ とする．
(1) $n=1,~2,~\cdots$ に対し $f(x)$ の第 $n$ 次導関数は，数列 $\{a_n\},~\{b_n\}$ を用いて
$f^{(n)}(x)=\dfrac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}$
と表されることを示し， $a_n,~b_n$ に関する漸化式を求めよ．
(2) $h_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{k}$ とおく． $h_n$ を用いて $a_n,~b_n$ の一般項を求めよ．

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