チェビシェフの多項式

2018年9月3日

1.(群馬大)
t=\cos\thetaとする.自然数nについて,ド・モアブルの定理(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\thetaが成り立つことにより\cos n\thetatn次多項式として表すことができる.この多項式をf_n(t)とし,変数tについてのf_n(t)の導関数をf'_n(t)とする.
(1) f_6(t)を求めよ.
(2) 自然数mについてf_{2m}(t)t^{2m}の係数を求めよ.
(3) \{f_n(t)\}^2+(1-t^2)\left\{\dfrac{1}{n}f'_n(t)\right\}^2=1が成り立つことを示せ.

2.(京都大)
nは自然数とする.
(1) すべての実数\thetaに対し\cos n\theta=f_n(\cos\theta),~\sin n\theta=g_n(\cos\theta)\sin\thetaを満たし,係数がともにすべて整数であるn次式f_n(x)n-1次式g_n(x)が存在することを示せ.
(2) f_n'(x)=ng_n(x)であることを示せ.
(3) pを3以上の素数とするとき,f_p(x)p-1次以下の係数はすべてpで割り切れることを示せ.

3.(東京大)
(1) 自然数n=1,~2,~3,~\cdotsに対して,ある多項式p_n(x),~q_n(x)が存在して,
\sin n\theta=p_n(\tan\theta)\cos^n\theta,~\cos n\theta=q_n(\tan\theta)\cos^n\theta
と書けることを示せ.
(2) このとき,n>1ならば次の等式が成立することを証明せよ.
p_n'(x)=nq_{n-1}(x),~q_n'(x)=-np_{n-1}(x)

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