複素数平面上の直線

2019年4月8日

複素数平面上の直線の問題です。図形と方程式と同じように、式の形を見てそれが何を表すかがすぐに分かるようにして下さい。

1.((1) 和歌山県立医大 (2) 東北大 (3) 京都教育大)
(1) 複素数平面上において,複素数zは原点を通らない直線上を動くものとする.このとき,zはある複素数\alphaに対して,\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+1=0を満たすことを示せ.
(2) \alphaを0でない複素数とする.複素数平面上において,\alphaを通り原点と\alphaを結ぶ直線に垂直な直線をlとする.l上の点zは方程式\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=2|\alpha|^2を満たすことを示せ.
(3) ab|a|=|b|=1をみたす相異なる複素数とする.複素数平面上で複素数zabを結ぶ直線上にあるとき,z+ab\overline{z}=a+bが成り立つことを示せ.ただし,\overline{z}zの共役複素数を表す.

解答

2.
複素数平面上で,次の等式を満たす点zの全体はどのような図形を描くか.
(1) z+\overline{z}=4
(2) z-\overline{z}=2i
(3) iz-i\overline{z}=1
(4) (1+i)z+(1-i)\overline{z}-2=0
(5) (1-2i)z+(1+2i)\overline{z}=5

解答

3.(電気通信大)
0でない複素数\alphaに対し,方程式\alpha z+\overline{\alpha}~\overline{z}=1で定まる複素数平面上の直線をl_{[\alpha]}で表す.
(1) \alpha=1のときの直線l_{[1]}を図示せよ.
(2) \alpha=iのときの直線l_{[i]}を図示せよ.
(3) 直線l_{[\alpha]}が2つの点3+i,~-1-2iを通るとき,\alphaを求めよ.
(4) 原点Oと直線l_{[\alpha]}の距離を\alphaを用いて表せ.
(5) 0でない複素数\alpha,~\betaに対し,l_{[\alpha]},~l_{[\beta]}が1点\gammaで交わるとする.このとき,\gammaは0ではなく,l_{[\gamma]}\alpha\betaを通ることを示せ.

解答

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