複素数平面上の直線

2016年12月17日2019年4月8日

複素数平面上の直線の問題です。図形と方程式と同じように、式の形を見てそれが何を表すかがすぐに分かるようにして下さい。

１．((1) 和歌山県立医大　(2) 東北大　(3) 京都教育大)
(1) 複素数平面上において，複素数 $z$ は原点を通らない直線上を動くものとする．このとき， $z$ はある複素数 $\alpha$ に対して， $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+1=0$ を満たすことを示せ．
(2) $\alpha$ を0でない複素数とする．複素数平面上において， $\alpha$ を通り原点と $\alpha$ を結ぶ直線に垂直な直線を $l$ とする． $l$ 上の点 $z$ は方程式 $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=2|\alpha|^2$ を満たすことを示せ．
(3) $a$ と $b$ は $|a|=|b|=1$ をみたす相異なる複素数とする．複素数平面上で複素数 $z$ が $a$ と $b$ を結ぶ直線上にあるとき， $z+ab\overline{z}=a+b$ が成り立つことを示せ．ただし， $\overline{z}$ は $z$ の共役複素数を表す．

→解答

２．
複素数平面上で，次の等式を満たす点 $z$ の全体はどのような図形を描くか．
(1) $z+\overline{z}=4$
(2) $z-\overline{z}=2i$
(3) $iz-i\overline{z}=1$
(4) $(1+i)z+(1-i)\overline{z}-2=0$
(5) $(1-2i)z+(1+2i)\overline{z}=5$

→解答

３．(電気通信大)
0でない複素数 $\alpha$ に対し，方程式 $\alpha z+\overline{\alpha}~\overline{z}=1$ で定まる複素数平面上の直線を $l_{[\alpha]}$ で表す．
(1) $\alpha=1$ のときの直線 $l_{[1]}$ を図示せよ．
(2) $\alpha=i$ のときの直線 $l_{[i]}$ を図示せよ．
(3) 直線 $l_{[\alpha]}$ が2つの点 $3+i,~-1-2i$ を通るとき， $\alpha$ を求めよ．
(4) 原点Oと直線 $l_{[\alpha]}$ の距離を $\alpha$ を用いて表せ．
(5) 0でない複素数 $\alpha,~\beta$ に対し， $l_{[\alpha]},~l_{[\beta]}$ が1点 $\gamma$ で交わるとする．このとき， $\gamma$ は0ではなく， $l_{[\gamma]}$ は $\alpha$ と $\beta$ を通ることを示せ．