複素数平面上の円

2016年12月17日2019年4月8日

次に複素数平面上の円の問題です。

１．
次の条件を満たす点P $(z)$ はどのような図形をえがくか．
(1) $|z-2i|=3$
(2) $|z-2+3i|=4$

２．(慶応大)
$|z+3-4i| \leqq 2$ を満たす複素数 $z$ の集合を $S$ とする．
(1) 複素数平面上に $S$ を図示せよ．
(2) $S$ に属する $z$ で絶対値の最大なものを $z_1$ ，最小なものを $z_2$ とするとき， $z_1,~z_2$ を図示して，それらを求めよ．

→解答

３．(Ⅰ．東京水産大　Ⅱ．立教大)
Ⅰ．(1) 方程式 $z\overline{z}-iz+i\overline{z}-3=0$ を満足する $z$ は複素数平面上で円周を作ることを証明せよ．
(2) この円の中心と半径とを求めよ．
Ⅱ．方程式 $z\overline{z}+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+1=0$ は， $\beta$ が(　　)という条件を満たすとき，円を表す．

→解答

４．(九州大)
(1) 実数 $a,~c$ と複素数 $b$ が $|b|^2-ac>0$ を満たすとき， $az\overline{z}+\overline{b}z+b\overline{z}+c=0$ を満たす点 $z$ は $a \ne 0$ のとき，どのような図形を描くか．ただし， $\overline{z}$ は $z$ に共役な複素数を表す．
(2) 0でない複素数 $d$ に対して， $dz(\overline{z}+1)=\overline{d}\overline{z}(z+1)$ を満たす点 $z$ はどのような図形を描くか．

→解答

５．(慶応大)
$(x-2)^2+(y-1)^2=3^2$ で表される円は，複素数 $z=x+yi$ を用いて
$|z-((~~~~~)+(~~~~~)i)|=(~~~~~)$
と書ける． $\overline{z}=x-yi$ とすれば
$z\overline{z}-((~~~~~)-(~~~~~)i)z-((~~~~~)+(~~~~~)i)\overline{z}-(~~~~~)=0$
とも書ける．また，
$|z+\dfrac{(~~~~~)}{(~~~~~)}((~~~~~)+i)|=\dfrac{(~~~~~)}{\sqrt{(~~~~~)}}|z|$
と表すこともできる．

→解答

６．(東北大)
$\alpha,~\beta,~\gamma$ を複素数とし， $z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma=0\cdots(*)$ を満たす複素数 $z$ を考える．
(1) $z$ は $(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma}=0$ を満たすことを示せ．
(2) $|\alpha|=|\beta| \ne 0$ と仮定し，また $\gamma$ は負の実数であると仮定する．このとき， $(*)$ を満たす $z$ がちょうど2個あるための必要十分条件を $\alpha,~\beta$ を用いて表せ．

→解答

７．(東京大)
複素数平面上の原点以外の相異なる2点P $(\alpha)$ , Q $(\beta)$ を考える．
P $(\alpha)$ , Q $(\beta)$ を通る直線を $l$ ，原点から $l$ に引いた垂線との交点をR $(w)$ をする．ただし，複素数 $\gamma$ が表す点CをC $(\gamma)$ と書く．次のことを示せ．
「 $w=\alpha\beta$ であるための必要十分条件は，P $(\alpha)$ , Q $(\beta)$ が中心A $\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ，半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周上にあることである．」