複素数平面上の円

2019年4月8日

次に複素数平面上の円の問題です。

1.
次の条件を満たす点P(z)はどのような図形をえがくか.
(1) |z-2i|=3
(2) |z-2+3i|=4

解答

2.(慶応大)
|z+3-4i| \leqq 2を満たす複素数zの集合をSとする.
(1) 複素数平面上にSを図示せよ.
(2) Sに属するzで絶対値の最大なものをz_1,最小なものをz_2とするとき,z_1,~z_2を図示して,それらを求めよ.

解答

3.(Ⅰ.東京水産大 Ⅱ.立教大)
Ⅰ.(1) 方程式z\overline{z}-iz+i\overline{z}-3=0を満足するzは複素数平面上で円周を作ることを証明せよ.
(2) この円の中心と半径とを求めよ.
Ⅱ.方程式z\overline{z}+\overline{\beta}z+\beta\overline{z}+1=0は,\betaが(  )という条件を満たすとき,円を表す.

解答

4.(九州大)
(1) 実数a,~cと複素数b|b|^2-ac>0を満たすとき,az\overline{z}+\overline{b}z+b\overline{z}+c=0を満たす点za \ne 0のとき,どのような図形を描くか.ただし,\overline{z}zに共役な複素数を表す.
(2) 0でない複素数dに対して,dz(\overline{z}+1)=\overline{d}\overline{z}(z+1)を満たす点zはどのような図形を描くか.

解答

5.(慶応大)
(x-2)^2+(y-1)^2=3^2で表される円は,複素数z=x+yiを用いて
|z-((~~~~~)+(~~~~~)i)|=(~~~~~)
と書ける.\overline{z}=x-yiとすれば
z\overline{z}-((~~~~~)-(~~~~~)i)z-((~~~~~)+(~~~~~)i)\overline{z}-(~~~~~)=0
とも書ける.また,
|z+\dfrac{(~~~~~)}{(~~~~~)}((~~~~~)+i)|=\dfrac{(~~~~~)}{\sqrt{(~~~~~)}}|z|
と表すこともできる.

解答

6.(東北大)
\alpha,~\beta,~\gammaを複素数とし,z\overline{z}+\alpha z+\beta\overline{z}+\gamma=0\cdots(*)を満たす複素数zを考える.
(1) z(\alpha-\overline{\beta})z-(\overline{\alpha}-\beta)\overline{z}+\gamma-\overline{\gamma}=0を満たすことを示せ.
(2) |\alpha|=|\beta| \ne 0と仮定し,また\gammaは負の実数であると仮定する.このとき,(*)を満たすzがちょうど2個あるための必要十分条件を\alpha,~\betaを用いて表せ.

解答

7.(東京大)
複素数平面上の原点以外の相異なる2点P(\alpha), Q(\beta)を考える.
P(\alpha), Q(\beta)を通る直線をl,原点からlに引いた垂線との交点をR(w)をする.ただし,複素数\gammaが表す点CをC(\gamma)と書く.次のことを示せ.
w=\alpha\betaであるための必要十分条件は,P(\alpha), Q(\beta)が中心A\left(\dfrac{1}{2}\right),半径\dfrac{1}{2}の円周上にあることである.」

解答

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