複素数平面上の軌跡2

2019年4月8日

垂直二等分線の問題をいくつか。

1.(山形大)

複素数平面において,三角形の頂点O, A, Bを表す複素数をそれぞれ0,~\alpha,~\betaとするとき,
(1) 線分OAの垂直二等分線上の点を表す複素数zは,\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}-\alpha\overline{\alpha}=0を満たすことを示せ.
(2) \bigtriangleupOABの外心を表す複素数を\alpha,~\overline{\alpha},~\beta,~\overline{\beta}を用いて表せ.
(3) \bigtriangleupOABの外心を表す複素数が\alpha+\betaとなるときの\dfrac{\beta}{\alpha}の値を求めよ.

解答

2.(宮崎大)
(1) |z|=2,~|z+i|=|z-1|を満たす複素数zは2つあることを示し,それらの値を求めよ.
(2) (1)で求めた2つの複素数を\alpha,~\beta (ただし,\alphaの実部は\betaの実部より大きい)とするとき,\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}が純虚数でさらに|\gamma-\alpha|=4をみたす\gammaを求めよ.また,そのときの\angle\alpha\beta\gammaの大きさを求めよ.

解答

3.(北海道大)
複素数平面上に3点O, A, Bを頂点とする\bigtriangleupOABがある.ただし,Oは原点とする.\bigtriangleupOABの外心をPとする.3点A, B, Pが表す複素数を,それぞれ\alpha,~\beta,~zとするとき,\alpha\beta=zが成り立つとする.
(1) 複素数\alphaの満たすべき条件を求め,点A(\alpha)が描く図形を複素数平面上に図示せよ.
(2) 点P(z)の存在範囲を求め,複素数平面上に図示せよ.

解答

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