複素数平面上の軌跡6

2019年4月25日

5の続きです。

1.(千葉大)
t0 \leqq t \leqq 1を満たす実数とし,\alpha=ti,~\beta=1とおく.複素数\gammaはその実部と虚部が正であるものとし,複素数平面上で,\alpha,~\beta,~\gammaは正三角形をなすとする.
(1) \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}を求めよ.
(2) tが0から1まで変わるとき,\gammaが描く軌跡を求めよ.

解答

2.(鹿児島大)
複素数\alpha,~\beta,~\gammaは複素数平面上の正三角形の3頂点を表すとする.
(1) \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}を求めよ.
(2) \alphaが実軸上の正の部分を動き,\betaが虚軸上の正の部分を動くとき,\gammaの存在する範囲を求めて図示せよ.

解答

3.(九州工業大)
複素数\alpha,~\beta|\alpha|=|\beta|=1,~\dfrac{\beta}{\alpha}の偏角は120°を満たす定角であるとき,0 \leqq \dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} \leqq 1を満たす複素数\gammaは複素数平面上のどのような図形上にあるか.

解答

4.(岐阜大)
\alpha,~\betaが複素数で,\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}i,~|\beta|=\sqrt{3},~\dfrac{\beta}{\alpha}の偏角が90°のとき
(1) 次の条件を満たす\gammaが描く図形を複素数平面上に図示せよ.
\dfrac{2\gamma-\beta}{\alpha}は実数で,0 \leqq \dfrac{2\gamma-\beta}{\alpha} \leqq 1
(2) 点\gammaが(1)の図形上を動くとき,|z-\gamma|=|\gamma|を満たす点zが動く範囲の面積を求めよ.

解答

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