複素数平面上の軌跡８

2016年12月17日2019年4月25日

最後に共円条件を利用した軌跡の問題です。

１．(東北大)
複素数平面上で，相異なる3点 $1,~\alpha,~\alpha^2$ は実軸上に中心をもつ同一円周上にある．このような $\alpha$ の存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．さらに，この円の半径を $|\alpha|$ を用いて表せ．

→解答

２．(東北大)
$z,~w$ を相異なる複素数で $z$ の虚部は正， $w$ の虚部は負とする．このとき，
(1) $1,~z,~-1,~w$ が複素数平面の同一円周上にあるための必要十分条件は $\dfrac{(1+w)(1-z)}{(1-w)(1+z)}$ が負の実数となることであることを示せ．
(2) $z=x+yi$ が $x<0$ と $y>0$ を満たすとする． $1,~z,~-1,~\dfrac{1+z^2}{2}$ が複素数平面の同一円周上にあるとき，複素数 $z$ の軌跡を求めよ．