複素数平面上の変換1

2019年8月21日

複素数平面上の変換の問題です。まずは、w=az+bすなわち1次関数の問題から。

1.B
zが単位円周上を動くとき,次のように表される点wはどんな図形をえがくか.
(1) w=z-1
(2) w=i(z+2)
(3) w=(1+i)(z-1)

解答

2.B (武蔵工業大)
複素数平面上の点zが円周|z-2i|=1上を動くとき,次のように表される点wの描く図形を複素数平面上に図示せよ.
(1) w=\overline{z}
(2) w=i\overline{z}

解答

3.C (福島県立医大)
複素数w=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}iがある.複素数z_0に対してz_1=wz_0-1,~z_2=wz_1-1とし,複素数平面上でz_0,~z_1,~z_2を表す点をそれぞれ\mbox{A}_0,~\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2とする.ただし,iは虚数単位である.
(1) z_0\dfrac{1}{w-1}と異なるとき,三角形\mbox{A}_0\mbox{A}_1\mbox{A}_2は正三角形となることを示せ.
(2) 3点\mbox{A}_0,~\mbox{A}_1,~\mbox{A}_2が複素数平面上の原点を中心とする半径1の円の周上または内部に含まれるように複素数z_0を動かす.このとき,点\mbox{A}_0が動きうる範囲の面積を求めよ.

解答

4.B (大阪市立大)
\alpha,~\betaを複素数とする.複素数平面上の点zに対して,w=\alpha z+\beta\overline{z}とおく.点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき,点wが原点を中心とする半径2の円周上を動くための\alpha\betaに条件を求めよ.

解答

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