複素数平面上の変換3

2019年8月21日

2の続きです。2次関数で定義域が円の場合です。

1.C (大阪大)
複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を1周するとき,w=2\sqrt{2}z-z^2で表される点wの軌跡が虚軸と交わる回数を求めよ.

解答

2.C (北海道大)
複素数平面上の点Oを中心とする半径2の円C上に点zがある.aを実数の定数とし,w=z^2-2az+1とおく.
(1) |w|^2zの実部xaを用いて表せ.
(2) 点zC上を一周するとき,|w|の最小値をaを用いて表せ.

解答

3.C (関西大)
zは複素数平面上の点1を中心とする半径1の円周上を動くものとし,w=z^2とする.z-1の偏角を\theta~(0 \leqq \theta < 2\pi)とするとき,
(1) wの絶対値|w|およびw \ne 0のときのwの偏角\arg w\thetaで表せ.
(2) w=u+iv (u,~vは実数)とするとき,u,~v\thetaで表せ.
(3) \thetaが0から\dfrac{\pi}{2}まで動くとき,wの描く曲線と実軸および虚軸により囲まれる領域の面積を求めよ.

解答

4.C (金沢大)
zは複素数で|z|=3を満たすとする.複素数平面上の点w=z^2+3zの描く図形が囲む面積を求めよ.ただし,-\pi \leqq \arg z \leqq \piとする.

解答

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