複素数平面上の変換5

2019年8月21日

次に反転の問題です。

1.C (北海道大)
複素数平面上の2点P(z), Q(w)が2つの条件を満たすとする.ただし,O(0)は原点である.
・線分OPの長さと線分OQの長さの積が1に等しい.
・Oを端とする半直線OP上にQがある.
(1) zwを用いて表せ.
(2) 点A(1-i)を中心とする半径\sqrt{2}の円からOを除いた曲線の上をPが動くとき,Qの軌跡を図示せよ.ただし,iは虚数単位である.
(3) r>0とし,\betaを絶対値|\beta|rに等しくない複素数とする.Pが点B(\beta)を中心とする半径rの円上を1周するとき,Qの軌跡を求めよ.

解答

2.C (岡山大)
原点をOとする複素数平面上で,0でない複素数z,~wの表す点をそれぞれP(z), Q(w)とする.zに対してwを,Oを始点とする半直線OP上にQ(w)があり,|w|=\dfrac{2}{|z|}を満たすようにとる.
(1) w=\dfrac{2}{\overline{z}}を示せ.
(2) \pm 2,~\pm 2iの表す4点を頂点とする正方形の周上を点P(z)が動く.このとき,\mbox{Q}(w)=\mbox{P}(z)となるzを求めよ.
(3) P(z)が(2)の正方形の周上を動くとき,点Q(w)の描く図形を求めて図示せよ.

解答

最後に極と極線が絡んだ軌跡の問題です。これも反転と深く関わりがあり、よく出題されます。

3.C (兵庫県立大)
複素数平面上で,原点を中心とする半径1の円をCとする.
(1) 0<|z|<1とし,C上の相異なる2点\alpha,~\betaを結ぶ線分の中点がzに等しいとする.このとき\alpha,~\betazを用いて表せ.
(2) (1)で求めた\alpha,~\betaにおける円Cの接線をそれぞれl,~mとする.lmの交点をwとするとき,wzを用いて表せ.
(3) 点zは点\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}と点\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}を結ぶ線分上を動く.ただし,両端の点\dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}は除く.このとき,(2)で求めた点wが描く曲線を図示せよ.

解答

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