複素数平面上の変換6

2019年8月21日

次は一般的な1次分数変換(メビウス変換)の問題です。

1.B (名古屋市立大)
2つの複素数zwの間に,w=\dfrac{z+i}{z+1}なる関係がある.ただし,z+1 \ne 0,~iは虚数単位とする.
(1) zが複素数平面上の虚軸を動くとき,wの軌跡を求め,図示せよ.
(2) zが複素数平面上の原点を中心とする半径1の円周上を動くとき,wの軌跡を求め,図示せよ.

解答

2.B (横浜国立大)
複素数zを与えたとき,複素数ww=\dfrac{z+p}{qz+r}で定まるものとする.ただし,p,~q,~rは複素数の定数である.z=0,~i,~-iのとき,wはそれぞれ1,~-1,~0となる.
(1) p,~q,~rを求めよ.
(2) |w|=1を満たすようなzの集合を複素数平面上に図示せよ.

解答

3.B (横浜国立大)
複素数z=x+yi (x,~yは実数)に対して,複素数wを,w=\dfrac{z}{z+1}で定める.以下の3つの各場合について,wのとりうる値の範囲を複素数平面上に図示せよ.
(1) y>0
(2) x^2+y^2>1かつy>0
(3) |x|<\dfrac{1}{2}かつy>0

解答

4.C (滋賀医大)
(1) p,~qを異なる複素数とし,tを正の実数とする.|z-p|=t|z-q|を満たす点zは円または直線上にあることを証明せよ.円である場合,その中心と半径をp,~q,~tで表せ.
(2) a,~b,~c,~dad-bc \ne 0を満たす複素数とし,w=\dfrac{az+b}{cz+d}~(cz+d \ne 0)をおくとき,zwで表せ.
(3) 点zが円または直線上を動くとき,(2)で定義された点wは円または直線上を動くことを証明せよ.

解答

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