複素数平面上の変換7

2019年8月21日

最後に、w=z+\dfrac{1}{z}型の変換(ジューコフスキー変換)です。

1.B (新潟大)
0でない複素数zに対して,w=z+\dfrac{2}{z}とおく.zの極形式をz=r(\cos\theta+i\sin\theta)とし,wの実部をu,虚部をvとする.このとき,
(1) u,~vをそれぞれr\thetaで表せ.
(2) 複素数平面上で,zが原点を中心とする半径1の円上を動くとき,点wの描く図形を図示せよ.
(3) 複素数平面上で,z\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\sqrt{3}+iを結ぶ線分上を動くとき,点wが描く図形を図示せよ.

解答

2.B (三重大)
iを虚数単位とする.
(1) 等式2\left|z-\dfrac{i}{3}\right|=\left|z-\dfrac{4i}{3}\right|を満たす複素数zを極形式で表せ.
(2) 0でない複素数zが(1)の等式を満たしながら変化するとき,複素数z+\dfrac{1}{z}は,複素数平面上でどのような図形を描くか.その概形をかけ.
(3) 0でない複素数w|w-1|=|w-i|を満たしながら変化するとき,複素数w+\dfrac{1}{w}は,複素数平面上でどのような図形を描くか.その概形をかけ.

解答

3.B (神戸大)
0でない複素数zに対して,w=u+ivw=\dfrac{1}{2}\left(z+\dfrac{1}{z}\right)とするとき,次の問いに答えよ.ただし,u,~vは実数,iは虚数単位である.
(1) 複素数平面上で,zが単位円|z|=1上を動くとき,wはどのような曲線を描くか.u,~vがみたす曲線の方程式を求め,その曲線を図示せよ.
(2) 複素数平面上で,zが実軸からの偏角\alpha~\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)の半直線上を動くとき,wはどのような曲線を描くか.u,~vがみたす曲線の方程式を求め,その曲線を図示せよ.

解答

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