対称式1

2016年12月25日

2文字の対称式の計算問題です。高校数学では対称式がよく現れるので、その計算方法を確実にマスターしておかなければなりません。

1.((1) 慶応大 (2) 東洋大)
(1) a+b=3,~ab=1のとき,a^4+b^4の値を求めよ.
(2) 実数x,~yx+y=3,~xy=-2を満たすとき,x^2+y^2,~x^3+y^3,~x^5+y^5の値を求めよ.

2.((1) 北里大 (3) 関西大 (4) 名城大)
(1) a+b=2\sqrt{2},~a^2+b^2=10のとき,ab,~a^3+b^3,~a^5+b^5の値を求めよ.
(2) a+b=2\sqrt{3},~a-b=2のとき,a^3+b^3の値を求めよ.
(3) x+y=1,~x^3+y^3=3のとき,x^2+y^2,~x^5+y^5の値を求めよ.
(4) a^2+\sqrt{2}b=\sqrt{5},~b^2+\sqrt{2}a=\sqrt{5},~a \ne bのとき,a+b,~\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}の値を求めよ.

3.((1) 同志社女子大 (2) 早稲田大)
(1) x>0,~y>0とする.x^2+y^2=12,~x^4+y^4=136であるとき,x^3+y^3の値を求めよ.
(2) 2つの数x,~yの積も和も正数で,x+y=(~~~~~),~xy=(~~~~~)とすれば,x^2+y^2=2,~x^3+y^3=(~~~~~),~x^4+y^4=-14,~x^5+y^5=(~~~~~)である.

4.((1) 名城大 (2) 岩手大 (3) 福岡大 (4) 芝浦工業大 (5) 早稲田大)
(1) x^2=5+2\sqrt{6},~y^2=5-2\sqrt{6}を満たす正の数x,~yに対して,x+y,~x^3+y^3の値を求めよ.
(2) x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},~y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}のとき,\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}の値を求めよ.
(3) x=\sqrt{4+\sqrt{7}},~y=\sqrt{4-\sqrt{7}}のとき,(x+y)^2x^3+y^3の値を求めよ.
(4) a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}},~b=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}のとき,ab,~a+bの値を求めよ.
(5) x=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}},~y=\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}のとき,xyの値は(  )で,x+yの値は(  )であるから,x^2+y^2の値は(  )であり,x^4+y^4の値は
(  )である.

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