対称式１

2016年12月24日2016年12月25日

2文字の対称式の計算問題です。高校数学では対称式がよく現れるので、その計算方法を確実にマスターしておかなければなりません。

１．((1) 慶応大　(2) 東洋大)
(1) $a+b=3,~ab=1$ のとき， $a^4+b^4$ の値を求めよ．
(2) 実数 $x,~y$ が $x+y=3,~xy=-2$ を満たすとき， $x^2+y^2,~x^3+y^3,~x^5+y^5$ の値を求めよ．

２．((1) 北里大　(3) 関西大　(4) 名城大)
(1) $a+b=2\sqrt{2},~a^2+b^2=10$ のとき， $ab,~a^3+b^3,~a^5+b^5$ の値を求めよ．
(2) $a+b=2\sqrt{3},~a-b=2$ のとき， $a^3+b^3$ の値を求めよ．
(3) $x+y=1,~x^3+y^3=3$ のとき， $x^2+y^2,~x^5+y^5$ の値を求めよ．
(4) $a^2+\sqrt{2}b=\sqrt{5},~b^2+\sqrt{2}a=\sqrt{5},~a \ne b$ のとき， $a+b,~\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}$ の値を求めよ．

３．((1) 同志社女子大　(2) 早稲田大)
(1) $x>0,~y>0$ とする． $x^2+y^2=12,~x^4+y^4=136$ であるとき， $x^3+y^3$ の値を求めよ．
(2) 2つの数 $x,~y$ の積も和も正数で， $x+y=(~~~~~),~xy=(~~~~~)$ とすれば， $x^2+y^2=2,~x^3+y^3=(~~~~~),~x^4+y^4=-14,~x^5+y^5=(~~~~~)$ である．

４．((1) 名城大　(2) 岩手大　(3) 福岡大　(4) 芝浦工業大　(5) 早稲田大)
(1) $x^2=5+2\sqrt{6},~y^2=5-2\sqrt{6}$ を満たす正の数 $x,~y$ に対して， $x+y,~x^3+y^3$ の値を求めよ．
(2) $x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},~y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$ のとき， $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$ の値を求めよ．
(3) $x=\sqrt{4+\sqrt{7}},~y=\sqrt{4-\sqrt{7}}$ のとき， $(x+y)^2$ と $x^3+y^3$ の値を求めよ．
(4) $a=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}},~b=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ のとき， $ab,~a+b$ の値を求めよ．
(5) $x=\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}},~y=\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ のとき， $xy$ の値は(　　)で， $x+y$ の値は(　　)であるから， $x^2+y^2$ の値は(　　)であり， $x^4+y^4$ の値は
(　　)である．

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