対称式2

対称式を利用して解く問題です。

1.((2) 鹿児島大 (3) 青山学院大)
(1) x+\dfrac{1}{x}=3のとき,x^3+\dfrac{1}{x^3},~x^5+\dfrac{1}{x^5},~x-\dfrac{1}{x}の値を求めよ.
(2) a=\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}のとき,a+\dfrac{1}{a},~a^2+\dfrac{1}{a^2},~a^5+\dfrac{1}{a^5}の値を求めよ.
(3) \sqrt{14+6\sqrt{5}}の整数部分をa,小数部分をbとする.このとき,a,~b^2+\dfrac{1}{b^2},~b^3+\dfrac{1}{b^3}の値を求めよ.
(4) x^2+5x+1=0のとき,x^2+\dfrac{1}{x^2},~x^3+\dfrac{1}{x^3},~x^5+\dfrac{1}{x^5}の値を求めよ.

2.((2) 東京農業大 (3) 立教大 (4) 早稲田大 (5) 東洋大)
(1) x^2+\dfrac{1}{x^2}=15のとき,x+\dfrac{1}{x},~x-\dfrac{1}{x}の値をそれぞれ求めよ.ただし,x>1とする.
(2) 0<x<1とする.x^2+\dfrac{1}{x^2}=6のとき,x+\dfrac{1}{x},~x^3の値を求めよ.
(3) x^2+\dfrac{1}{x^2}=6のとき,x^3-\dfrac{1}{x^3},~x^5-\dfrac{1}{x^5}の値を求めよ.ただし,0<x<1とする.
(4) 実数xx^3+\dfrac{1}{x^3}=52を満たすとき,x^4+\dfrac{1}{x^4}の値を求めよ.
(5) 実数xx^2-3x-1=0を満たすとき,x-\dfrac{1}{x},~x^2+\dfrac{1}{x^2},~x^3-\dfrac{1}{x^3}の値を求めよ.

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