対称式3

次は3文字の対称式の問題です。

1.
x+y+z=1,~xy+yz+zx=2,~xyz=3であるとき,次の式の値を求めよ.
(1) x^2+y^2+z^2
(2) x^3+y^3+z^3
(3) x^4+y^4+z^4

2.((1) 名城大 (2) 東北学院大)
(1) a+b+c=1,~a^2+b^2+c^2=3,~a^3+b^3+c^3=2のとき,ab+bc+ca,~abcの値を求めよ.
(2) x,~y,~zx+y+z=6,~x^2+y^2+z^2=18,~\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{9}{4}を満たすとき,x^3+y^3+z^3の値を求めよ.

3.(早稲田大)
(1) a^2+b^2+c^2=1を満たす複素数a,~b,~cに対して,x=a+b+cとおく.このとき,ab+bc+caxの2次式で表せ.
(2) a^2+b^2+c^2=1,~a^3+b^3+c^3=0,~abc=3をすべて満たす複素数a,~b,~cに対して,x=a+b+cとおく.このとき,x^3-3xの値を求めよ.

4.(大阪市立大)
実数a,~b,~cに対してx=a+b+c,~y=a^2+b^2+c^2,~z=abc,~w=a^4+b^4+c^4とおく.
(1) ab+bc+cax,~yを用いて表せ.
(2) a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2x,~y,~zを用いて表せ.
(3) x=1,~z=1,~w=35のとき,yの値を求めよ.

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