次数下げ

式の計算をするときは次数を下げるのも定石です。整式の割り算の練習も兼ねています。

1.((1) 学習院大 (2) 慶応大 (3) 北海道薬科大)
(1) 2次方程式x^2+3x+8=0の解を\alpha,~\betaとするとき,\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\alpha^4+21\beta^3の値を求めよ.
(2) x^2+3x+1=0の2つの解を\alpha,~\betaとするとき,(\alpha^2+5\alpha+1)(\beta^2-4\beta+1)の値を求めよ.
(3) x^2+2x+3=0の2つの解を\alpha,~\betaとするとき,(\alpha^3+\alpha^2+1)(\beta^3+\beta^2+1)の値を求めよ.

2.((1) 昭和薬科大 (2) 北里大 (3) 近畿大 (4) 関西学院大)
(1) x=2+\sqrt{3}のとき,式x^4-3x^3+7x^2-3x+8の値を求めよ.
(2) x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}のとき,x^2+x,~x^4-x^3の値を求めよ.
(3) x^2-3x-2=0かつx>0のとき,x^4+x^3-13x^2-3x-7の値を求めよ.
(4) x=1+\sqrt{2}iのとき,x^3+3x^2-4x+14の値を求めよ.

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