複素数

次に複素数の計算問題です。まずは複素数の相等から。

1.
次の等式を満たす実数x,~yを求めよ.
(1) (3x-y)+(2x+1)i=7+5i
(2) (3+i)x+(1-i)y=5+3i

2.((1) 青山学院大 (2) 北海道薬科大)
次の方程式を解け.ただし,iは虚数単位,xは実数とする.
(1) (2+i)x^2+(5+i)x-3(1+2i)=0
(2) x^3+(2+i)x^2+(4i-3)x+3i=0

次に複素数の四則計算。

3.
次の等式を満たす実数x,yを求めよ.
(1) (3-4i)(x+yi)=5+10i
(2) \dfrac{(1+2i)(x+yi)}{3-2i}=3+4i

4.(青山学院大)
z=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2},~w=\dfrac{5-i}{2-3i}とするとき,z^{11},~z^{2000},~w^7の値を求めよ.

最後に共役複素数について。

5.
複素数\alphaの共役な複素数を\overline{\alpha}と表すとき,
(1) \overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta},~\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}であることを示せ.
(2) 実数係数の2次方程式ax^2+bx+c=0が虚数解\alphaをもつとき,その共役複素数\overline{\alpha}も解であることを示せ.

6.
実数係数のn次方程式f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0~(a_n \ne 0)が虚数解\alphaをもつとき,その共役複素数\overline{\alpha}も解であることを示せ.

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