オメガ1

次に\omega (オメガ)についてです。

1.
1の3乗根のうち,虚数であるものの1つを\omegaとするとき,1の3乗根は1,~\omega,~\omega^2であることを示せ.

2.((2) 上智大 (3) 日本大)
(1) 方程式x^3=1の虚数解の1つを\omegaとする.実数a,~bに対して,等式(\omega^2+a\omega)(\omega+b)=-3が成り立つとき,aの値を求めよ.
(2) \omega^2+\omega+1=0をみたす複素数\omegaに対して
\omega^3+3\omega^2+(2a+5b-8)\omega+(3a+6b-10)=0 (a,~bは実数)
が成り立つという.このとき,a,~bの値を求めよ.
(3) xについての方程式x^3=1の虚数解の1つを\omegaとする.このとき,\omega+2\omega^2+\dfrac{a}{1+\omega}+\dfrac{3\omega}{1+\omega^2}=bを満たすような2つの実数a,~bの値を求めよ.

3.(名古屋大)
a,~b,~cを整数とし,xについての3次式f(x)=x^3+ax^2+bx+cを考える.f(x)が次の条件
(ⅰ) f(\sqrt{2})=0
(ⅱ) \omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}とおくと,f(\omega)は実数
を満たすとき,a,~b,~cの値を求めよ.ただし,iは虚数単位 (i^2=-1)である.

4.(京都大)
実数を係数とする3次式f(x)=x^3+ax^2+bx+cに対し,次の条件を考える.
(A) 方程式f(x)=0の解であるすべての複素数\alphaに対し,\alpha^3もまたf(x)=0の解である.
(B) 方程式f(x)=0は虚数解を少なくとも1つもつ.
この2つの条件(A), (B)を同時に満たす3次式をすべて求めよ.

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