オメガ１

2016年12月24日

次に $\omega$ (オメガ)についてです。

１．
1の3乗根のうち，虚数であるものの1つを $\omega$ とするとき，1の3乗根は $1,~\omega,~\omega^2$ であることを示せ．

２．((2) 上智大　(3) 日本大)
(1) 方程式 $x^3=1$ の虚数解の1つを $\omega$ とする．実数 $a,~b$ に対して，等式 $(\omega^2+a\omega)(\omega+b)=-3$ が成り立つとき， $a$ の値を求めよ．
(2) $\omega^2+\omega+1=0$ をみたす複素数 $\omega$ に対して
$\omega^3+3\omega^2+(2a+5b-8)\omega+(3a+6b-10)=0$ ( $a,~b$ は実数)
が成り立つという．このとき， $a,~b$ の値を求めよ．
(3) $x$ についての方程式 $x^3=1$ の虚数解の1つを $\omega$ とする．このとき， $\omega+2\omega^2+\dfrac{a}{1+\omega}+\dfrac{3\omega}{1+\omega^2}=b$ を満たすような2つの実数 $a,~b$ の値を求めよ．

３．(名古屋大)
$a,~b,~c$ を整数とし， $x$ についての3次式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ を考える． $f(x)$ が次の条件
(ⅰ) $f(\sqrt{2})=0$
(ⅱ) $\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと， $f(\omega)$ は実数
を満たすとき， $a,~b,~c$ の値を求めよ．ただし， $i$ は虚数単位 $(i^2=-1)$ である．

４．(京都大)
実数を係数とする3次式 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ に対し，次の条件を考える．
(A) 方程式 $f(x)=0$ の解であるすべての複素数 $\alpha$ に対し， $\alpha^3$ もまた $f(x)=0$ の解である．
(B) 方程式 $f(x)=0$ は虚数解を少なくとも1つもつ．
この2つの条件(A), (B)を同時に満たす3次式をすべて求めよ．

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