オメガ2

次にオメガの計算問題です。

1.((1) 明治大 (2) 慶応大 (3) 芝浦工業大 (4) 滋賀大)
(1) 方程式x^2+x+1=0の解の1つを\omegaとする.このとき
1+2\omega+3\omega^2+4\omega^3+5\omega^4+6\omega^5+7\omega^6+8\omega^7+9\omega^8+10\omega^9 =(~~~~~)-(~~~~~)\omega
(2) x^2-x+1=0の1つの解を\omegaとするとき,\omega^{12}+6\omega^{10}+15\omega^8+20\omega^6+15\omega^4+6\omega^2+1の値を求めよ.
(3) 方程式x^2+x+1=0の解を\alpha,~\betaとするとき,\alpha^{2011}+\beta^{2011}の値を求めよ.
(4) 2次方程式x^2-x+1=0の解の1つを\alphaとするとき,\alpha^{5800}+\alpha^{3500}+\alpha^{1700}+\alpha^{70}の値を求めよ.

2.(早稲田大)
x+y=-1,~xy=1のとき,次の式の値を求めよ.
(1) x^2+y^2
(2) x^3
(3) x^4+y^4
(4) x^9+y^9
(5) x^{17}+y^{17}

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