オメガ3

2の続きです。

1.(鳥取大)
\omega\omega^2+\omega+1=0を満たす複素数とするとき,次の問いに答えよ.
(1) \omega^3=1であることを示せ.
(2) 次の式Pを展開し,a,~b,~cのみの式で表せ.
P=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega^4)

2.(中央大)
複素数\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\omegaで表すとき,
(1) p,~qを実数とする.p,~qを係数とする2次方程式x^2+px+q=0の解が\omega,~\omega^2であるとき,pqの値を求めよ.
(2) a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+sb+tc)(a+ub+vc)となるs,~t,~u,~v\omegaを用いて表せ.

3.(早稲田大)
3次方程式x^3=1の虚数解の1つを\omegaとする.
(1) a,~bを実数とし,z=a-b\omegaとするとき,z\overline{z}a,~bで表せ.ただし,\overline{z}zの共役複素数である.
(2) a,~b,~c,~dを実数とするとき,(a-b\omega)(c-d\omega)=A+B\omegaをみたす実数A,~Ba,~b,~c,~dで表せ.
(3) a,~b,~c,~dを整数とするとき,(a^2+ab+b^2)(c^2+cd+d^2)は,X^2+XY+Y^2の形で表されることを示せ.ただし,X,~Yも整数とする.

4.(東京農業大)
方程式x^3=1の虚数解を\omega,~\omega^2とする.
(1) 1+\omega+\omega^2=(~~~~~)である.
(2) a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)を示せ.
(3) a,~b,~c,~x,~y,~zの整式P,~Q,~Rを適当にとると(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)=P^3+Q^3+R^3-3PQRとできる.整式P,~Q,~Rを求めよ.

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