オメガ３

2016年12月24日

２の続きです。

１．(鳥取大)
$\omega$ を $\omega^2+\omega+1=0$ を満たす複素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\omega^3=1$ であることを示せ．
(2) 次の式 $P$ を展開し， $a,~b,~c$ のみの式で表せ．
$P=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega^4)$

２．(中央大)
複素数 $\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ を $\omega$ で表すとき，
(1) $p,~q$ を実数とする． $p,~q$ を係数とする2次方程式 $x^2+px+q=0$ の解が $\omega,~\omega^2$ であるとき， $p$ と $q$ の値を求めよ．
(2) $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+sb+tc)(a+ub+vc)$ となる $s,~t,~u,~v$ を $\omega$ を用いて表せ．

３．(早稲田大)
3次方程式 $x^3=1$ の虚数解の1つを $\omega$ とする．
(1) $a,~b$ を実数とし， $z=a-b\omega$ とするとき， $z\overline{z}$ を $a,~b$ で表せ．ただし， $\overline{z}$ は $z$ の共役複素数である．
(2) $a,~b,~c,~d$ を実数とするとき， $(a-b\omega)(c-d\omega)=A+B\omega$ をみたす実数 $A,~B$ を $a,~b,~c,~d$ で表せ．
(3) $a,~b,~c,~d$ を整数とするとき， $(a^2+ab+b^2)(c^2+cd+d^2)$ は， $X^2+XY+Y^2$ の形で表されることを示せ．ただし， $X,~Y$ も整数とする．

４．(東京農業大)
方程式 $x^3=1$ の虚数解を $\omega,~\omega^2$ とする．
(1) $1+\omega+\omega^2=(~~~~~)$ である．
(2) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega)$ を示せ．
(3) $a,~b,~c,~x,~y,~z$ の整式 $P,~Q,~R$ を適当にとると $(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)=P^3+Q^3+R^3-3PQR$ とできる．整式 $P,~Q,~R$ を求めよ．

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