オメガ4

最後にオメガのn乗の問題です。

1.(豊橋技術科学大)
方程式x^3=1の虚数解の1つを\omegaとするとき,次の値を求めよ.
(1) \omega^4+\omega^2+1
(2) \omega^{2n}+\omega^n+1 (n:正の整数)

2.(岡山大)
複素数\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}について,
(1) \omega^2+\omega^4,~\omega^5+\omega^{10}の値を求めよ.
(2) nを正の整数とするとき,\omega^n+\omega^{2n}の値を求めよ.
(3) nを正の整数とするとき,(\omega+2)^n+(\omega^2+2)^nが整数であることを証明せよ.

3.(琉球大)
zz^2+z+1=0を満たす複素数とするとき,z^3=1が成り立つことを示し,さらに\dfrac{1}{(i-z^n)(i-z^{2n})}の値を求めよ.ただし,iは虚数単位,nは自然数とする.

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