恒等式１

2016年12月24日2017年1月6日

恒等式の問題です。まずは基本的な手法をマスターして下さい。

１．
(1) $(2x+3)(ax+b)=4x^2+cx-9$ が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,~b,~c$ の値を定めよ．
(2) $(k+1)x-(3k+2)y+2k+7=0$ がすべての実数 $k$ について成り立つとき， $x,~y$ の値を求めよ．

２．
次の式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,~b,~c$ の値を定めよ．
(1) $a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1$
(2) $x^3-4x^2+9x-10=(x-1)^3+a(x-2)^2+b(x-3)+c$

３．((2) 東京理科大　(2) 徳島大　(3) 青山学院大　(5) 関西学院大)
次の式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,~b,~c,~d$ の値を定めよ．
(1) $\dfrac{x}{x^2+x-2}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}$
(2) $\dfrac{2x^2-3x+5}{x^3-6x^2+11x-6}=\dfrac{a}{x-1}-\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{x-3}$
(3) $\dfrac{x^2+2x-2}{x^3+1}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}$
(4) $\dfrac{x^2-x+6}{x^3-x^2-x+1}=\dfrac{a}{(x-1)^2}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}$
(5) $\dfrac{2x^3-7x^2+11x-16}{x(x-2)^3}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2}+\dfrac{d}{(x-2)^3}$

４．((2) 同志社女子大)
次の式が $x$ についての恒等式となるように，定数 $a,~b,~c$ の値を定めよ．
(1) $a(x+1)^2+b(x+1)+c=x^2+x+1$
(2) $x^3+1=(x-2)^3+a(x-2)^2+b(x-2)+c$

５．((2) お茶の水女子大)
(1) $x^4-ax^3+bx^2-12x+9$ が $x$ の完全平方式となるような $a,~b$ の値を求めよ．
(2) $x$ の4次式 $x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+1$ は2次式の平方とはならないことを証明せよ．ただし $a$ は一定の実数とする．

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