恒等式1

2017年1月6日

恒等式の問題です。まずは基本的な手法をマスターして下さい。

1.
(1) (2x+3)(ax+b)=4x^2+cx-9xについての恒等式となるように,定数a,~b,~cの値を定めよ.
(2) (k+1)x-(3k+2)y+2k+7=0がすべての実数kについて成り立つとき,x,~yの値を求めよ.

2.
次の式がxについての恒等式となるように,定数a,~b,~cの値を定めよ.
(1) a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1
(2) x^3-4x^2+9x-10=(x-1)^3+a(x-2)^2+b(x-3)+c

3.((2) 東京理科大 (2) 徳島大 (3) 青山学院大 (5) 関西学院大)
次の式がxについての恒等式となるように,定数a,~b,~c,~dの値を定めよ.
(1) \dfrac{x}{x^2+x-2}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}
(2) \dfrac{2x^2-3x+5}{x^3-6x^2+11x-6}=\dfrac{a}{x-1}-\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{x-3}
(3) \dfrac{x^2+2x-2}{x^3+1}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^2-x+1}
(4) \dfrac{x^2-x+6}{x^3-x^2-x+1}=\dfrac{a}{(x-1)^2}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}
(5) \dfrac{2x^3-7x^2+11x-16}{x(x-2)^3}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{(x-2)^2}+\dfrac{d}{(x-2)^3}

4.((2) 同志社女子大)
次の式がxについての恒等式となるように,定数a,~b,~cの値を定めよ.
(1) a(x+1)^2+b(x+1)+c=x^2+x+1
(2) x^3+1=(x-2)^3+a(x-2)^2+b(x-2)+c

5.((2) お茶の水女子大)
(1) x^4-ax^3+bx^2-12x+9xの完全平方式となるようなa,~bの値を求めよ.
(2) xの4次式x^4+ax^3+a^2x^2+a^3x+1は2次式の平方とはならないことを証明せよ.ただしaは一定の実数とする.

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