剰余の定理・因数定理

まずは剰余の定理の問題から。

1.(北里大)
整式P(x)=x^4-x^3+x^2-x+1を1次式x-2で割ったときの余りと,1次式2x-1で割ったときの余りを求めよ.

2.
f(x)=x^3+ax^2+bx+4x+1で割ると割り切れ,x-2で割ると余りが-6となる.このとき,a,~bの値を求めよ.

次に因数定理の問題を2つ。

3.(東京電機大)
f(x)xの3次式であり,f(1)=1,~f(2)=\dfrac{1}{2},~f(3)=\dfrac{1}{3},~f(4)=\dfrac{1}{4}を満たしている.g(x)=xf(x)-1とおくとき,
(1) g(x)x=0,~1,~2,~3,~4での値をそれぞれ求めよ.
(2) g(x)を因数分解せよ.
(3) g(5)を求め,それを利用してf(5)を求めよ.

4.(早稲田大)
(1) xに関する次数が2006の多項式Q(x)に対して,次の条件
Q(0)=1,~Q(1)=Q(2)=Q(3)=\cdots=Q(2006)=0
が成立しているとき,Q(2007)の値を求めよ.
(2) xに関する次数が2005の多項式P(x)に対して,次の条件
P(k)=\dfrac{1}{k},~k=1,~2,~3,~\cdots,~2006
が成立しているとき,P(2007)の値を求めよ.

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