剰余の問題１

2016年12月24日2017年6月4日

剰余の問題です。剰余の問題では筆算、展開式の利用、恒等式、剰余の定理が主なツールです。剰余の定理を利用する問題をいくつか。

１．((1) 中央大　(2) 立教大　(3) 京都産業大　(4) 立命館大)
(1) 整式 $x^4-x^3$ を整式 $x^2-1$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) $x^7$ を $x^2-x-2$ で割った余りを求めよ．
(3) $x^{99}$ を $x^2-1$ で割った余りを求めよ．
(4) $n$ は2以上の自然数とする．整式 $x^n$ を $x^2-3x+2$ で割ったときの余りを求めよ．

２．((1) 立教大　(2) 青山学院大　(3) 上智大)
(1) 整式 $P(x)$ を $x+2$ で割った余りが3， $x-3$ で割った余りが $-1$ のとき， $P(x)$ を $x^2-x-6$ で割った余りを求めよ．
(2) 多項式 $P(x)$ を $x+1$ で割ると2余り， $2x-1$ で割ると $-1$ 余るとき， $Q(x)=P(x)+4x+3$ を $(x+1)(2x-1)$ で割った余りを求めよ．
(3) $f(x)$ は整数を係数とする整式で， $f(\sqrt{2})=2\sqrt{2},~f(1)=5$ である． $f(x)$ を $(x^2-2)(x-1)$ で割った余りを求めよ．

３．((1) 慶応大　(2) 上智大)
(1) ある整式 $P(x)$ を $(x+1)(x+2)$ で割ると $3x-5$ 余り， $(x-1)(x-3)$ で割ると $2x+3$ 余る．この整式 $P(x)$ を $x+1$ で割った余りを求めよ．また， $P(x)$ を $(x+2)(x-3)$ で割った余りを求めよ．
(2) $x$ の整式 $f(x)$ を $x^2-3x+2$ で割った余りが $2x-1$ で， $f(x)$ を $x^2-5x+6$ で割った余りが $ax+7$ であるとき， $a$ の値を求めよ．また，このときの $f(x)$ を $x^2-4x+3$ で割った余りを求めよ．

４．((1) 青山学院大　(2) 秋田大)
(1) 整式 $P(x)$ を $x-1,~x-2,~x-3$ で割ったときの余りがそれぞれ6, 14, 26であるとき，この $P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) 整式 $f(x)$ を $x^2-4x+3$ で割ったときの余りは $x+1$ であり， $x^2-3x+2$ で割ったときの余りは $3x-1$ である． $f(x)$ を $x^3-6x^2+11x-6$ で割ったときの余りを求めよ．

５．(神戸大)
(1) $x$ の整式 $P(x)$ を $x-1$ で割った余りが1， $x-2$ で割った余りが2， $x-3$ で割った余りが3となった． $P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割った余りを求めよ．
(2) $n$ を2以上の自然数とする． $k=1,~2,~\cdots,~n$ について，整式 $P(x)$ を $x-k$ で割った余りが $k$ となった． $P(x)$ を $(x-1)(x-2)\cdots(x-n)$ で割った余りを求めよ．

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