剰余の問題1

2017年6月4日

剰余の問題です。剰余の問題では筆算、展開式の利用、恒等式、剰余の定理が主なツールです。剰余の定理を利用する問題をいくつか。

1.((1) 中央大 (2) 立教大 (3) 京都産業大 (4) 立命館大)
(1) 整式x^4-x^3を整式x^2-1で割ったときの余りを求めよ.
(2) x^7x^2-x-2で割った余りを求めよ.
(3) x^{99}x^2-1で割った余りを求めよ.
(4) nは2以上の自然数とする.整式x^nx^2-3x+2で割ったときの余りを求めよ.

2.((1) 立教大 (2) 青山学院大 (3) 上智大)
(1) 整式P(x)x+2で割った余りが3,x-3で割った余りが-1のとき,P(x)x^2-x-6で割った余りを求めよ.
(2) 多項式P(x)x+1で割ると2余り,2x-1で割ると-1余るとき,Q(x)=P(x)+4x+3(x+1)(2x-1)で割った余りを求めよ.
(3) f(x)は整数を係数とする整式で,f(\sqrt{2})=2\sqrt{2},~f(1)=5である.f(x)(x^2-2)(x-1)で割った余りを求めよ.

3.((1) 慶応大 (2) 上智大)
(1) ある整式P(x)(x+1)(x+2)で割ると3x-5余り,(x-1)(x-3)で割ると2x+3余る.この整式P(x)x+1で割った余りを求めよ.また,P(x)(x+2)(x-3)で割った余りを求めよ.
(2) xの整式f(x)x^2-3x+2で割った余りが2x-1で,f(x)x^2-5x+6で割った余りがax+7であるとき,aの値を求めよ.また,このときのf(x)x^2-4x+3で割った余りを求めよ.

4.((1) 青山学院大 (2) 秋田大)
(1) 整式P(x)x-1,~x-2,~x-3で割ったときの余りがそれぞれ6, 14, 26であるとき,このP(x)(x-1)(x-2)(x-3)で割ったときの余りを求めよ.
(2) 整式f(x)x^2-4x+3で割ったときの余りはx+1であり,x^2-3x+2で割ったときの余りは3x-1である.f(x)x^3-6x^2+11x-6で割ったときの余りを求めよ.

5.(神戸大)
(1) xの整式P(x)x-1で割った余りが1,x-2で割った余りが2,x-3で割った余りが3となった.P(x)(x-1)(x-2)(x-3)で割った余りを求めよ.
(2) nを2以上の自然数とする.k=1,~2,~\cdots,~nについて,整式P(x)x-kで割った余りがkとなった.P(x)(x-1)(x-2)\cdots(x-n)で割った余りを求めよ.

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