剰余の問題2

2017年8月9日

1の続きです。

1.(立教大)
整式x^3+ax^2+x+bが,x^2-3x+2で割り切れるとき,a,~bの値を求めよ.

2.((1) 同志社大 (2) 上智大)
(1) 3次式P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+dx^2-3x+2で割った余りが2xに等しい.また,P(0)=-1,~P(3)=4を満たす.このとき,a,~b,~c,~dの値を求めよ.
(2) a,~bを実数とする.整式
P=a(x+1)^2(2x+1)-4(x-1)^2(2x-1)+bx(x-3)^2
(x+1)(x+2)で割り切れるならば,a=(~~~~~),~b=(~~~~~)であって,P=(x+1)(x+2)((~~~~~)x+(~~~~~))と因数分解できる.

次の問題は1と何が違うのかをよく考えながら解いて下さい。

3.((1) 甲南大 (2) 早稲田大 (3) 防衛大 (4) 上智大)
(1) f(x)=2x^3+ax^2+bx+13とする.f(x)x^2-4x+13で割り切れるとき,a,~bの値を求めよ.
(2) a,~bを定数とする.整式2x^4+3x^3+ax^2を整式P(x)で割ると,商がx^2-x+b,余りが-5x-10である.このとき,a,~bの値を求めよ.
(3) f(0)=1で,f(x^2)f(x)で割り切れるような2次式f(x)をすべて求めよ.
(4) 整式f(x)=ax^3+bx^2+cx+dは,x^2+3で割ると余りはx+3であり,x^2+x+2で割ると余りは3x+5である.このとき,a,~b,~c,~dを求めよ.

最後に少し難しい問題を1つ。

4.(弘前大)
多項式x^3+3x^2+2x+7を割り切り,かつすべての項の係数が正の実数であるような2次式は存在するか.

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