剰余の問題3

2017年6月4日

次は、余りを少し工夫しないと解けない問題です。工夫しないと条件が足りません。

1.(上智大)
xについての整式(x-a)(x-2)^2+(x-b)(x-1)^2+(x-c)x^2x-1で割ると1余り,(x-2)^2で割ると2x-3余る.このとき,a,~b,~cの値を求めよ.

2.(山形大)
整式P(x)(x-1)^2で割ったときの余りが4x-5で,x+2で割ったときの余りが-4である.
(1) P(x)x-1で割ったときの余りを求めよ.
(2) P(x)(x-1)(x+2)で割ったときの余りを求めよ.
(3) P(x)(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ.

3.(鹿児島大)
多項式P(x)(x+2)^3で割った余りを4x^2+3x+5x-1で割った余りを3とする.
(1) P(x)(x+2)(x-1)で割った余りを求めよ.
(2) P(x)(x+2)^2(x-1)で割った余りを求めよ.

4.(東京都立大)
xに関する多項式f_n(x)~(n=0,~1,~2,~\cdots)
f_0(x)=2,~f_1(x)=x,~f_{n+2}(x)=xf_{n+1}(x)-f_n(x)~(n=0,~1,~2,~\cdots)
で定める.
(1) f_2(x),~f_3(x)を求めよ.
(2) f_n(2),~f_n(-1)はそれぞれnについて周期的に変化することを示し,f_n(2),~f_n(-1)の値を求めよ.
(3) f_n(x)+f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)(x+1)^2(x-2)で割った余りを求めよ.

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