剰余の問題5

2017年6月4日

次は割られる整式を求める問題です。前にも少しやりましたが、次数が分かっていないだけで少し難しくなります。

1.(島根大)
整式P(x)x^2-2x+1で割るとx-2余り,2x^2+3x+1で割ると2x+3余るとする.
(1) P(x)2x^2-x-1で割ったときの余りを求めよ.
(2) 条件を満たすような3次式P(x)を求めよ.

2.(首都大)
文字xについての整式P(x)を,2次式x^2+2x+1で割ると余りが5x-2で,別の2次式x^2-3x+2で割ると余りが2x+1であるとする.
(1) 整式P(x)を2次式x^2-x-2で割ったときの余りを求めよ.
(2) 整式P(x)は4次式であるとし,かつP(x)は1次式xで割り切れるとする.このとき,整式P(x)を求めよ.

3.(立教大)
最高次の次数が1の整式P(x)で,条件P(2)=0,~P(0)=1,~P(1)=2を満たすもののうち,最も次数の低いものを求めよ.

4.(立命館大)
整式A(x)は次の条件を満たす.
(ⅰ) x^2+2x+1で割った余りは3x+8である.
(ⅱ) x^2+x-6で割った余りは-x+16である.
(1) A(-1)=(~~~~~),~A(2)=(~~~~~)であるから,A(x)x^2-x-2で割った余りは(  )である.
(2) A(x)B(x)=x^3+2x^2-5x-6で割った余りは(  )である.また,A(x)B(x)で割った商を,さらにx+1で割った余りは(  )である.
(3) 条件(ⅰ), (ⅱ)を満たすA(x)のうち,実数が最も低い整式はA(x)=(~~~~~)である.

5.(東京工業大)
x^2で割るとx+1余り,(x+1)^2で割るとx余る整式のうちで,次数が最低のものを求めよ.

6.(上智大)
整数を係数とするxの整式Aを,x^3+x^2+x+1で割ると余りは-3x^2-x+2x^2+2x+3で割ると余りは5x+3であるという.このようなAの中で,次数が最小のものを求めよ.

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