剰余の問題５

2016年12月24日2017年6月4日

次は割られる整式を求める問題です。前にも少しやりましたが、次数が分かっていないだけで少し難しくなります。

１．(島根大)
整式 $P(x)$ を $x^2-2x+1$ で割ると $x-2$ 余り， $2x^2+3x+1$ で割ると $2x+3$ 余るとする．
(1) $P(x)$ を $2x^2-x-1$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) 条件を満たすような3次式 $P(x)$ を求めよ．

２．(首都大)
文字 $x$ についての整式 $P(x)$ を，2次式 $x^2+2x+1$ で割ると余りが $5x-2$ で，別の2次式 $x^2-3x+2$ で割ると余りが $2x+1$ であるとする．
(1) 整式 $P(x)$ を2次式 $x^2-x-2$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) 整式 $P(x)$ は4次式であるとし，かつ $P(x)$ は1次式 $x$ で割り切れるとする．このとき，整式 $P(x)$ を求めよ．

３．(立教大)
最高次の次数が1の整式 $P(x)$ で，条件 $P(2)=0,~P(0)=1,~P(1)=2$ を満たすもののうち，最も次数の低いものを求めよ．

４．(立命館大)
整式 $A(x)$ は次の条件を満たす．
(ⅰ) $x^2+2x+1$ で割った余りは $3x+8$ である．
(ⅱ) $x^2+x-6$ で割った余りは $-x+16$ である．
(1) $A(-1)=(~~~~~),~A(2)=(~~~~~)$ であるから， $A(x)$ を $x^2-x-2$ で割った余りは(　　)である．
(2) $A(x)$ を $B(x)=x^3+2x^2-5x-6$ で割った余りは(　　)である．また， $A(x)$ を $B(x)$ で割った商を，さらに $x+1$ で割った余りは(　　)である．
(3) 条件(ⅰ), (ⅱ)を満たす $A(x)$ のうち，実数が最も低い整式は $A(x)=(~~~~~)$ である．