剰余の問題6

2017年6月4日

次の問題もそのままでは条件が足りません。どうすればよいでしょうか。

1.((1) 早稲田大 (2), (4) 防衛大 (3) 青山学院大 (5) 大阪府立大)
(1) 整数係数の多項式f(x)(x-a)^2で割ったときの余りを,a,~f(a),~f'(a)を使って表せ.
(2) f(a)=f'(a)=0を満たすxの整式f(x)(x-a)^2で割り切れることを証明せよ.
(3) 整式f(x)=x^{25}-x^{13}+5(x+1)^2で割った余りは(~~~~~)x+(~~~~~)である.
(4) x^n(x-1)^2で割ったときの余りをnを用いて表せ.ただし,nは正の整数とする.
(5) nを自然数とする.整式x^nを整式(x-1)^3で割ったときの余りを,xnを用いて表せ.

2.(同志社大)
(1) x^3-1(x-1)^2で割った余りは(  )であり,x^2-1で割った余りは(  )である.また,x^3-27x^2-5x+6で割った余りは(  )である.
(2) nを3以上の整数とする.x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1x-1で割った余りは(  )となるから,x^n-1(x-1)^2で割った余りは(  )である.また,x^n-1x^2-1で割った余りは,nが偶数のとき(  )であり,nが奇数のとき(  )である.
(3) nを3以上の整数とする.x^n-3^n(x-3)^2で割った余りは(  )であり,x^2-5x+6で割った余りは(  )である.

3.(東京大)
2以上の自然数kに対してf_k(x)=x^k-kx+k-1とおく.このとき,次のことを証明せよ.
(1) n次多項式g(x)(x-1)^2で割り切れるためには,g(x)が定数a_2,~\cdots,~a_nを用いてg(x)=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}a_kf_k(x)の形に表せることが必要十分である.
(2) n次多項式g(x)(x-1)^3で割り切れるためには,g(x)が関係式\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}\dfrac{k(k-1)}{2}a_k=0を満たす定数a_2,~\cdots,~a_nを用いてg(x)=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}a_kf_k(x)の形に表せることが必要十分である.

4.((1) 千葉大 (2) 防衛医大 (3) 慶応大)
(1) 整式x^4+ax^3+ax^2+bx-6が整式x^2-2x+1で割り切れるとき,a,~bの値を求めよ.
(2) 整式f(x)=ax^4+bx^3+cx^2-16x+4が整式g(x)=x^3-4x^2+5x-2で割り切れるとき,a-b-cの値を求めよ.
(3) nは3以上の奇数として,多項式P(x)=x^n-ax^2-bx+2を考える.P(x)x^2-4で割り切れるときはa=(~~~~~),~b=(~~~~~)であり,(x+1)^2で割り切れるときはa=(~~~~~),~b=(~~~~~)である.

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