剰余の問題６

2016年12月24日2017年6月4日

次の問題もそのままでは条件が足りません。どうすればよいでしょうか。

１．((1) 早稲田大　(2), (4) 防衛大　(3) 青山学院大　(5) 大阪府立大)
(1) 整数係数の多項式 $f(x)$ を $(x-a)^2$ で割ったときの余りを， $a,~f(a),~f'(a)$ を使って表せ．
(2) $f(a)=f'(a)=0$ を満たす $x$ の整式 $f(x)$ は $(x-a)^2$ で割り切れることを証明せよ．
(3) 整式 $f(x)=x^{25}-x^{13}+5$ を $(x+1)^2$ で割った余りは $(~~~~~)x+(~~~~~)$ である．
(4) $x^n$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを $n$ を用いて表せ．ただし， $n$ は正の整数とする．
(5) $n$ を自然数とする．整式 $x^n$ を整式 $(x-1)^3$ で割ったときの余りを， $x$ と $n$ を用いて表せ．

２．(同志社大)
(1) $x^3-1$ を $(x-1)^2$ で割った余りは(　　)であり， $x^2-1$ で割った余りは(　　)である．また， $x^3-27$ を $x^2-5x+6$ で割った余りは(　　)である．
(2) $n$ を3以上の整数とする． $x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1$ を $x-1$ で割った余りは(　　)となるから， $x^n-1$ を $(x-1)^2$ で割った余りは(　　)である．また， $x^n-1$ を $x^2-1$ で割った余りは， $n$ が偶数のとき(　　)であり， $n$ が奇数のとき(　　)である．
(3) $n$ を3以上の整数とする． $x^n-3^n$ を $(x-3)^2$ で割った余りは(　　)であり， $x^2-5x+6$ で割った余りは(　　)である．

３．(東京大)
2以上の自然数 $k$ に対して $f_k(x)=x^k-kx+k-1$ とおく．このとき，次のことを証明せよ．
(1) $n$ 次多項式 $g(x)$ が $(x-1)^2$ で割り切れるためには， $g(x)$ が定数 $a_2,~\cdots,~a_n$ を用いて $g(x)=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}a_kf_k(x)$ の形に表せることが必要十分である．
(2) $n$ 次多項式 $g(x)$ が $(x-1)^3$ で割り切れるためには， $g(x)$ が関係式 $\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}\dfrac{k(k-1)}{2}a_k=0$ を満たす定数 $a_2,~\cdots,~a_n$ を用いて $g(x)=\displaystyle{\sum_{k=2}^{n}}a_kf_k(x)$ の形に表せることが必要十分である．

４．((1) 千葉大　(2) 防衛医大　(3) 慶応大)
(1) 整式 $x^4+ax^3+ax^2+bx-6$ が整式 $x^2-2x+1$ で割り切れるとき， $a,~b$ の値を求めよ．
(2) 整式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2-16x+4$ が整式 $g(x)=x^3-4x^2+5x-2$ で割り切れるとき， $a-b-c$ の値を求めよ．
(3) $n$ は3以上の奇数として，多項式 $P(x)=x^n-ax^2-bx+2$ を考える． $P(x)$ が $x^2-4$ で割り切れるときは $a=(~~~~~),~b=(~~~~~)$ であり， $(x+1)^2$ で割り切れるときは $a=(~~~~~),~b=(~~~~~)$ である．

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