剰余の問題8

2017年6月4日

7の続きです。

1.(Ⅰ.京都大 Ⅱ.青山学院大)
Ⅰ.多項式(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1は多項式x^2+x+1で割り切れるか.
Ⅱ.(1) 整式(x^3+x^2+x+1)^2x^3-1で割った余りを求めよ.
(2) 整式x^{20}x^3-1で割った余りを求めよ.

2.((1) 関西大 (2) お茶の水女子大)
(1) 整式f(x)x-1で割ると余りが3である.また,f(x)x^2+x+1で割ると余りが4x+5である.このとき,f(x)x^3-1で割ったときの余りを求めよ.
(2) 多項式f(x)x^2+x+1で割るとx+2余り,x^2+1で割ると1余る.f(x)(x^2+x+1)(x^2+1)で割ったときの余りを求めよ.

3.(室蘭工業大)
m,~nを正の整数とする.
(1) x^{3m}+1x^3-1で割った余りを求めよ.
(2) x^n+1x^2+x+1で割った余りを求めよ.

4.((1) 岩手大 (2) 同志社大)
(1) 自然数nが奇数で,かつ3の倍数でないとき,(x+1)^n-x^n-1x^2+x+1で割り切れることを証明せよ.
(2) 整式x^{2n}+(x+1)^{2n}+1x^2+x+1で割り切れるためには,自然数nがどのような数であればよいか.

5.((1) 京都産業大 (2) 芝浦工業大 (3) 名城大 (4) 学習院大)
(1) a,~bは定数とする.整式x^3-x^2+ax+bが整式x^2+x+1で割り切れるとき,a,~bの値を求めよ.
(2) 整式f(x)=x^{20}+ax^{10}+bx^2+x+1で割り切れるとき,実数の定数a,~bの値を求めよ.
(3) 多項式x^3+ax^2+bx-ax^2+x+1で割った余りが-x+3であるとき,定数a,~bの値を求めよ.
(4) 3次式f(x)x^2+x+1で割ったときの余りがx+1で,x^2+1で割ったときの余りがx-1であるとする.このとき,f(x)を求めよ.

 

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