剰余の問題９

2017年6月4日

８の続きです。オメガはx^2+x+1=0の虚数解ですが、今度はx^2-x+1=0の虚数解を利用します。オメガは1の3乗根ですが、x^2-x+1=0は-1の3乗根、すなわち1の6乗根です。

１．(東北学院大)
f(x)=x^2-x+1とする．
(1) x^3をf(x)で割った余りを求めよ．
(2) 1+x+x^2+\cdots+x^{11}をf(x)で割った余りを求めよ．

２．(上智大)
\{(x+1)(x-2)(x^2-x+2)\}^2をx^3+1で割った余りを求めよ．

３．(早稲田大)
xについての多項式P(x)をx^2+x+1で割った余りがx+1，x^2-x+1で割った余りがx-1のとき，P(x)を(x^2+x+1)(x^2-x+1)で割った余りを求めよ．

４．(一橋大)
正の整数nに対し，f(z)=z^{2n}+z^n+1とする．
(1) f(z)をz^2+z+1で割ったときの余りを求めよ．
(2) f(z)をz^2-z+1で割ったときの余りを求めよ．

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Posted by 山彦のフドウ