剰余の問題9

2017年6月4日

8の続きです。オメガはx^2+x+1=0の虚数解ですが、今度はx^2-x+1=0の虚数解を利用します。オメガは1の3乗根ですが、x^2-x+1=0-1の3乗根、すなわち1の6乗根です。

1.(東北学院大)
f(x)=x^2-x+1とする.
(1) x^3f(x)で割った余りを求めよ.
(2) 1+x+x^2+\cdots+x^{11}f(x)で割った余りを求めよ.

2.(上智大)
\{(x+1)(x-2)(x^2-x+2)\}^2x^3+1で割った余りを求めよ.

3.(早稲田大)
xについての多項式P(x)x^2+x+1で割った余りがx+1x^2-x+1で割った余りがx-1のとき,P(x)(x^2+x+1)(x^2-x+1)で割った余りを求めよ.

4.(一橋大)
正の整数nに対し,f(z)=z^{2n}+z^n+1とする.
(1) f(z)z^2+z+1で割ったときの余りを求めよ.
(2) f(z)z^2-z+1で割ったときの余りを求めよ.

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