方程式と共役

方程式と共役複素数の問題です。

1.(慶応大)
a,~b,~cを実数の定数とする.i=\sqrt{-1}を虚数単位として,複素数zを未知数とする方程式F(z)=z^3+aiz^2+bz+ci=0の解のいくつかの性質に関して次の問いに答えなさい.
(1) z=\alphaF(z)=0の解ならば,z=-\overline{\alpha}F(z)=0の解であることを証明しなさい.ただし,\overline{\alpha}\alphaの共役複素数とする.\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2},~\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}~\overline{z_2}は用いてよい.
(2) z=rF(z)=0の1つの解で,rが実数であるとする.c \ne 0とするとき,z=-r,~-aiF(z)=0の解であることを証明しなさい.
(3) 実数を係数とする3次方程式は少なくとも1つ実数解をもつことを用いて,方程式F(z)=0は少なくとも1つの純虚数の解をもつことを証明しなさい.
(4) (3)を用いて,方程式z^3+iz^2+z+10i=0の3つの解を求めなさい.

2.(九州大)
複素数z=\cos 20^{\circ}+i\sin 20^{\circ}と,それに共役な複素数\overline{z}に対し,\alpha=z+\overline{z}とする.
(1) \alphaは整数を係数とするある3次方程式の解となることを示せ.
(2) この3次方程式は3個の実数解をもち,そのいずれも有理数ではないことを示せ.
(3) 有理数を係数とする2次方程式で,\alphaを解とするものは存在しないことを背理法を用いて示せ.

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