方程式と絶対値1

2018年9月4日

方程式と複素数の絶対値の問題です。

1.(工学院大)
複素数zの方程式z^2+z+k=0が絶対値1の解をもつような実数kの値を求めよ.

2.(東京工業大)
方程式x^3-x+k=0~(k>0)が絶対値1の虚数解をもつとき,この方程式の3つの解を求めよ.

3.(横浜国立大)
a,~b,~cを整数とし,xの3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0は次の2つの条件をみたすとする.
(ⅰ) 1つの正の実数解と2つの虚数解をもつ.
(ⅱ) 解の絶対値はすべて1である.
このとき,整数の組(a,b,c)をすべて求めよ.

4.(東京工業大)
実数a,~b,~cに対してF(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+1,~f(x)=x^2+cx+1とおく.また,複素数平面上の単位円周から2点1,~-1を除いたものをTとする.
(1) f(x)=0の解がすべてT上にあるための必要十分条件をcを用いて表せ.
(2) F(x)=0の解がすべてT上にあるならば,
F(x)=(x^2+c_1x+1)(x^2+c_2x+1)
を満たす実数c_1,~c_2が存在することを示せ.
(3) F(x)=0の解がすべてT上にあるための必要十分条件をa,~bを用いて表し,それを満たす点(a,b)の範囲を座標平面上に図示せよ.

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