方程式と絶対値２

2017年1月8日

１の続きです。「実数解」とはどこにも書いてないので注意して下さい。

１．(東京理科大)
$x$ に関する2次方程式 $x^2-6(m-4)x+3(m^2-6m+10)=0$ の2つの解を $\alpha,~\beta$ とする． $\alpha,~\beta$ が $|\alpha|+|\beta|=6$ を満たすように実数 $m$ の値を定めよ．

２．(弘前大)
$a,~b$ は実数とする．2次方程式 $z^2+az+b=0$ のすべての解の絶対値が1以下であるための必要十分条件を， $a$ と $b$ で表せ．また，この条件を満たす点 $(a,b)$ の範囲を座標平面上に図示せよ．

３．(三重大)
$p,~q$ を実数とする．2次方程式 $z^2-2pz+q=0$ は虚数解 $z$ をもつものとする．
(1) $|z-1| \leqq 2$ となるとき，点 $(p,q)$ がどのような範囲にあるかを座標平面上に図示せよ．
(2) $p,~q$ が $1<-4p+q<5$ を満たすとき， $z$ がどのような範囲にあるかを複素数平面上に図示せよ．

４．(県立広島大)
実数 $a,~b,~c$ を係数とする3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ が， $x=1$ を解にもつとする．
(1) $c$ を $a,~b$ で表せ．
(2) この方程式が虚数解をもち，その絶対値が1以下であるとき，点 $(a,b)$ の存在する範囲を図示せよ．

５．(静岡大)
$a,~b$ を実数とする $x$ の3次方程式 $x^3-3ax^2+(b+2a^2)x-ab=0\cdots (*)$ について，
(1) $x^3-3ax^2+(b+2a^2)x-ab$ を因数分解せよ．
(2) 方程式(＊)の3つの解を $z_1,~z_2,~z_3$ とし，それらを複素数平面上の点とみなすとき， $|z_1|<1,~|z_2|<1,~|z_3|<1$ が同時に成り立つための $a,~b$ の満たすべき条件を求め，それを $ab$ 平面上に図示せよ．