方程式と平行・直交

方程式と平行条件、直交条件の問題です。

1.(宮崎大)
整式F(x)=x^3-x^2+(k^2-1)x+k^2+1について,次の各問いに答えよ.ただし,k>0とする.
(1) F(x)x+1で割り切れることを示せ.また,F(x)=0の2つの虚数解を求めよ.
(2) 複素数平面において,F(x)=0の2つの虚数解を表す点をP, Qとし,実数解を表す点をRとする.このとき,次の(A), (B)に答えよ.
(A) 3点P, Q, Rを通る円の方程式を複素数zを用いて表せ.
(B) \angle\mbox{PRQ}=45^{\circ}であるとき,kの値を求めよ.

2.(鹿児島大)
p,~qを実数とし,xに関する3次方程式x^3+3px+q=0は1つの実数解\alphaと絶対値1の虚数解\beta,~\overline{\beta}をもつとする.ただし,\overline{\beta}\betaの共役複素数である.いま,\beta=\cos\theta+i\sin\theta~(0^{\circ}<\theta<180^{\circ})として,
(1) p,~qおよび実数解\alpha\thetaを用いて表せ.
(2) 3p+q^2の値を求めよ.この結果を用いて-1 < p \leqq \dfrac{1}{3}および4p^3+q^2>0であることを示せ.
(3) \alpha,~\beta,~\overline{\beta}に対応する複素数平面上の点をそれぞれA, B, Cとする.三角形ABCで\angle\mbox{BAC}が直角になるとき,p,~qの値を求めよ.

3.(順天堂大)
複素数\alphaに対して,その共役複素数を\overline{\alpha}で表すことにする.このとき,次の設問に答えよ.ただし,nは2以上の自然数とする.
(1) \alpha,~\betaを複素数とするとき,\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}および\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}が成立することを示せ.
(2) f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0ただし,a_0,~a_1,~\cdots,~a_nは実数とする.このとき,方程式f(x)=0の解\alphaに対して,\overline{\alpha}もこの方程式の解であることを示せ.
(3) g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0ただし,b_0,~b_1,~\cdots,~b_nは複素数とする.さらにg(x)=0が次の2条件を満たすとする.
(a) n個の異なる解をもつ.
(b) \alphaがこの方程式の解であれば,\overline{\alpha}もこの方程式の解である.
このとき,b_0,~b_1,~\cdots,~b_nは複素数平面上で原点を通る一直線上にあることを示せ.

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