方程式と平行・直交

2017年1月8日

方程式と平行条件、直交条件の問題です。

１．(宮崎大)
整式 $F(x)=x^3-x^2+(k^2-1)x+k^2+1$ について，次の各問いに答えよ．ただし， $k>0$ とする．
(1) $F(x)$ は $x+1$ で割り切れることを示せ．また， $F(x)=0$ の2つの虚数解を求めよ．
(2) 複素数平面において， $F(x)=0$ の2つの虚数解を表す点をP, Qとし，実数解を表す点をRとする．このとき，次の(A), (B)に答えよ．
(A) 3点P, Q, Rを通る円の方程式を複素数 $z$ を用いて表せ．
(B) $\angle\mbox{PRQ}=45^{\circ}$ であるとき， $k$ の値を求めよ．

２．(鹿児島大)
$p,~q$ を実数とし， $x$ に関する3次方程式 $x^3+3px+q=0$ は1つの実数解 $\alpha$ と絶対値1の虚数解 $\beta,~\overline{\beta}$ をもつとする．ただし， $\overline{\beta}$ は $\beta$ の共役複素数である．いま， $\beta=\cos\theta+i\sin\theta~(0^{\circ}<\theta<180^{\circ})$ として，
(1) $p,~q$ および実数解 $\alpha$ を $\theta$ を用いて表せ．
(2) $3p+q^2$ の値を求めよ．この結果を用いて $-1 < p \leqq \dfrac{1}{3}$ および $4p^3+q^2>0$ であることを示せ．
(3) $\alpha,~\beta,~\overline{\beta}$ に対応する複素数平面上の点をそれぞれA, B, Cとする．三角形ABCで $\angle\mbox{BAC}$ が直角になるとき， $p,~q$ の値を求めよ．

３．(順天堂大)
複素数 $\alpha$ に対して，その共役複素数を $\overline{\alpha}$ で表すことにする．このとき，次の設問に答えよ．ただし， $n$ は2以上の自然数とする．
(1) $\alpha,~\beta$ を複素数とするとき， $\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}$ および $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$ が成立することを示せ．
(2) $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ ただし， $a_0,~a_1,~\cdots,~a_n$ は実数とする．このとき，方程式 $f(x)=0$ の解 $\alpha$ に対して， $\overline{\alpha}$ もこの方程式の解であることを示せ．
(3) $g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0$ ただし， $b_0,~b_1,~\cdots,~b_n$ は複素数とする．さらに $g(x)=0$ が次の2条件を満たすとする．
(a) $n$ 個の異なる解をもつ．
(b) $\alpha$ がこの方程式の解であれば， $\overline{\alpha}$ もこの方程式の解である．
このとき， $b_0,~b_1,~\cdots,~b_n$ は複素数平面上で原点を通る一直線上にあることを示せ．

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