2次方程式と正三角形

2次方程式と方程式の問題です。まずは準備から。

1.(京都大)
複素数平面上で\bigtriangleupABCの頂点を表す複素数を\alpha,~\beta,~\gammaとする.\alpha,~\beta,~\gammaが次の3条件を満たすとする.
(a) \bigtriangleupABCは辺の長さ\sqrt{3}の正三角形である.
(b) \alpha+\beta+\gamma=3
(c) \alpha\beta\gammaの絶対値は1で,虚数部分は正.
このとき,
(1) z=\alpha-1とおいて,\beta\gammazを使って表せ.
(2) \alpha,~\beta,~\gammaの偏角を求めよ.ただし,0^{\circ}\leqq \arg\alpha \leqq \arg\beta \leqq \arg\gamma < 360^{\circ}とする.

2.(大阪大)
(a,b)は,abがともに有理数のときに有理点と呼ばれる.3つの頂点がすべて有理点である正三角形は存在しないことを示せ.ただし,必要ならば\sqrt{3}が無理数であることを証明せずに用いてもよい.

2次方程式と正三角形の問題です。

3.((1) 高知大 (2) 東京芸術大 (3) 京都大)
(1) 2次方程式x^2+x+k=0の2つの解を\alpha,~\betaとする.複素数平面において3点1,~\alpha,~\betaが正三角形の頂点になるように,定数kの値を求めよ.
(2) \gammaを実数とするとき,方程式x^2+\gamma x+1=0は2つの虚数解\alpha,~\betaをもつという.複素数平面上でA(\alpha), B(\beta), C(\gamma)とするとき,\bigtriangleupABCが正三角形となるように,\gammaの値を定めよ.
(3) cを実数とする.xについての2次方程式x^2+(3-2c)x+c^2+5=0が2つの解\alpha,~\betaをもつとする.複素数平面上の3点\alpha,~\beta,~c^2が三角形の3頂点になり,その三角形の重心は0であるという.cを求めよ.

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