方程式と正方形

2017年1月8日

2次方程式と正方形の問題です。

１．(愛知教育大)
2次方程式 $x^2+ax+b=0$ について，次の問いに答えよ．ただし， $a,~b$ は実数とする．
(1) 複素数平面上で，この2次方程式の解の表す点が単位円の周上にあるとき， $b$ のとりうる値をすべて求めよ．
(2) この2次方程式の解の表す点が単位円に内接する正方形の異なる2頂点となるような $a,~b$ の値の組をすべて求めよ．

２．(神戸大)
$a,~b$ を実数とし， $a>0$ とする．
(1) 方程式 $x^2+2ax+5=0$ の2つの解および方程式 $x^2-6x+b=0$ の2つの解が表す複素数平面上の点が正方形の4頂点になるとする．このとき， $a,~b$ の値を求めよ．
(2) 上の正方形の4頂点を原点のまわりに反時計まわりに45°回転した点を表す複素数を $z_1,~z_2,~z_3,~z_4$ とする．これらの積 $z_1,~z_2,~z_3,~z_4$ の値を求めよ．

次に4次方程式と正方形の問題です。

３．(和歌山大)
4次方程式 $(x^2-2ax+a^2+1)(x^2-4x+b)=0$ は，互いに異なる4つの解をもつとする．複素数平面上で，これらの4つの解の表す点が正方形の4頂点になるような実数 $a,~b$ の組をすべて求めよ．また，各 $a,~b$ の組に対して，上の4次方程式の解を求めよ．

４．(早稲田大)
$a,~b$ を正の整数とし， $f(x)=x^4+ax^3+(a+b)x^2+(2-a)x+1$ とおく．4次方程式 $f(x)=0$ の解がすべて絶対値が1の複素数である．
(1) $f(x)=0$ のどの解も実数ではないことを示せ．
(2) $a,~b$ の値を求めよ．
(3) $f(x)=0$ の4つの解を頂点とする複素数平面上の四角形の面積を求めよ．

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