方程式と正方形

2次方程式と正方形の問題です。

1.(愛知教育大)
2次方程式x^2+ax+b=0について,次の問いに答えよ.ただし,a,~bは実数とする.
(1) 複素数平面上で,この2次方程式の解の表す点が単位円の周上にあるとき,bのとりうる値をすべて求めよ.
(2) この2次方程式の解の表す点が単位円に内接する正方形の異なる2頂点となるようなa,~bの値の組をすべて求めよ.

2.(神戸大)
a,~bを実数とし,a>0とする.
(1) 方程式x^2+2ax+5=0の2つの解および方程式x^2-6x+b=0の2つの解が表す複素数平面上の点が正方形の4頂点になるとする.このとき,a,~bの値を求めよ.
(2) 上の正方形の4頂点を原点のまわりに反時計まわりに45°回転した点を表す複素数をz_1,~z_2,~z_3,~z_4とする.これらの積z_1,~z_2,~z_3,~z_4の値を求めよ.

次に4次方程式と正方形の問題です。

3.(和歌山大)
4次方程式(x^2-2ax+a^2+1)(x^2-4x+b)=0は,互いに異なる4つの解をもつとする.複素数平面上で,これらの4つの解の表す点が正方形の4頂点になるような実数a,~bの組をすべて求めよ.また,各a,~bの組に対して,上の4次方程式の解を求めよ.

4.(早稲田大)
a,~bを正の整数とし,f(x)=x^4+ax^3+(a+b)x^2+(2-a)x+1とおく.4次方程式f(x)=0の解がすべて絶対値が1の複素数である.
(1) f(x)=0のどの解も実数ではないことを示せ.
(2) a,~bの値を求めよ.
(3) f(x)=0の4つの解を頂点とする複素数平面上の四角形の面積を求めよ.

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