3次方程式と正三角形

2017年1月8日

3次方程式と正三角形の問題です。

１．(岩手大)
$x$ の3次方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0\cdots(*)$ が $-2-\sqrt{3}i$ を解にもつとき，次の問いに答えよ．ただし，係数 $a,~b,~c$ は実数とする．
(1) $-2+\sqrt{3}i$ も(＊)の解であることを示せ．
(2) $a,~b$ をそれぞれ $c$ を用いて表せ．
(3) 方程式(＊)の3つの解を表す複素数平面上の3点が正三角形をなすとき， $c$ の値を求めよ．

２．(大阪府立大)
$k$ を実数とし， $x$ についての3次方程式 $x^3-3kx^2+(2k^2+1)x-k+1=0$ の3つの解が，複素数平面上で半径1の円に内接する正三角形の頂点となる．このとき，
(1) 実数解を $\alpha$ とするとき，他の2つの解を $\alpha$ を用いて表せ．
(2) $k$ の値と3つの解を求めよ．

３．(京都大)
$a,~b$ を実数とする．3次方程式 $x^3+ax^2+bx+1=0$ は3つの複素数からなる解 $\alpha_1,~\alpha_2,~\alpha_3$ をもち，相異なる $i,~j$ に対し $|\alpha_i-\alpha_j|=\sqrt{3}$ をみたしている．このような $a,~b$ の組をすべて求めよ．

４．(名古屋大)
実数を係数とする3次方程式 $x^3+px^2+qx+r=0$ は，相異なる虚数解 $\alpha,~\beta$ と実数解 $\gamma$ をもつとする．
(1) $\beta=\overline{\alpha}$ が成り立つことを証明せよ．ここで， $\overline{\alpha}$ は $\alpha$ と共役な複素数を表す．
(2) $\alpha,~\beta,~\gamma$ が等式 $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3$ を満たし，さらに複素数平面上で $\alpha,~\beta,~\gamma$ を表す3点は1辺の長さが $\sqrt{3}$ の正三角形をなすものとする．このとき，実数の組 $(p,q,r)$ をすべて求めよ．

最後に、3次方程式と正六角形の問題です。

５．(九州大)
$k$ を実数とするとき，方程式 $x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=0$ の解を $z_1,~z_2,~z_3$ とし，それらを複素数平面上の点と見なす．
(1) 3点 $z_1,~z_2,~z_3$ が一直線上にあるような $k$ の値を求めよ．
(2) 3点 $z_1,~z_2,~z_3$ が直角三角形をなすような $k$ の値を求めよ．
(3) 3点 $z_1,~z_2,~z_3$ を原点のまわりに角 $\theta$ だけ回転して得られる3点を $w_1,~w_2,~w_3$ とする． $w_1,~w_2,~w_3$ およびそれらと共役な点 $\overline{w_1},~\overline{w_2},~\overline{w_3}$ とが原点中心の正六角形の頂点となるとき， $k$ および $\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)$ の値を求めよ．

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