3次方程式と正三角形

3次方程式と正三角形の問題です。

1.(岩手大)
xの3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0\cdots(*)-2-\sqrt{3}iを解にもつとき,次の問いに答えよ.ただし,係数a,~b,~cは実数とする.
(1) -2+\sqrt{3}iも(*)の解であることを示せ.
(2) a,~bをそれぞれcを用いて表せ.
(3) 方程式(*)の3つの解を表す複素数平面上の3点が正三角形をなすとき,cの値を求めよ.

2.(大阪府立大)
kを実数とし,xについての3次方程式x^3-3kx^2+(2k^2+1)x-k+1=0の3つの解が,複素数平面上で半径1の円に内接する正三角形の頂点となる.このとき,
(1) 実数解を\alphaとするとき,他の2つの解を\alphaを用いて表せ.
(2) kの値と3つの解を求めよ.

3.(京都大)
a,~bを実数とする.3次方程式x^3+ax^2+bx+1=0は3つの複素数からなる解\alpha_1,~\alpha_2,~\alpha_3をもち,相異なるi,~jに対し|\alpha_i-\alpha_j|=\sqrt{3}をみたしている.このようなa,~bの組をすべて求めよ.

4.(名古屋大)
実数を係数とする3次方程式x^3+px^2+qx+r=0は,相異なる虚数解\alpha,~\betaと実数解\gammaをもつとする.
(1) \beta=\overline{\alpha}が成り立つことを証明せよ.ここで,\overline{\alpha}\alphaと共役な複素数を表す.
(2) \alpha,~\beta,~\gammaが等式\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3を満たし,さらに複素数平面上で\alpha,~\beta,~\gammaを表す3点は1辺の長さが\sqrt{3}の正三角形をなすものとする.このとき,実数の組(p,q,r)をすべて求めよ.

最後に、3次方程式と正六角形の問題です。

5.(九州大)
kを実数とするとき,方程式x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=0の解をz_1,~z_2,~z_3とし,それらを複素数平面上の点と見なす.
(1) 3点z_1,~z_2,~z_3が一直線上にあるようなkの値を求めよ.
(2) 3点z_1,~z_2,~z_3が直角三角形をなすようなkの値を求めよ.
(3) 3点z_1,~z_2,~z_3を原点のまわりに角\thetaだけ回転して得られる3点をw_1,~w_2,~w_3とする.w_1,~w_2,~w_3およびそれらと共役な点\overline{w_1},~\overline{w_2},~\overline{w_3}とが原点中心の正六角形の頂点となるとき,kおよび\theta~(0 \leqq \theta \leqq \pi)の値を求めよ.

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