点列１

2017年1月8日

点列の問題です。

１．(神戸大)
$\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{5}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{5}$ とする．ただし， $i$ は虚数単位である．100個の複素数 $z_1,~z_2,~\cdots,~z_{100}$ を $z_1=\alpha,~z_n=z_{n-1}^3~(n=2,~\cdots,~100)$ で定める．
(1) $z_5$ を $\alpha$ を用いて表せ．
(2) $z_n=\alpha$ となるような $n$ の個数を求めよ．
(3) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{100}}z_n$ の値を求めよ．

２．(静岡大)
$i$ を虚数単位， $r$ を1より大きい実数とし， $w=r\left(\cos\dfrac{\pi}{24}+i\sin\dfrac{\pi}{24}\right)$ とおく．また，数列 $\{z_n\}$ を次の式で定める．
$z_1=w,~z_{n+1}=z_nw^{n+2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$
(1) $z_2$ を $r$ を用いて表せ．
(2) $z_n$ の偏角の1つを $n$ を用いて表せ．
(3) 複素数平面で原点をO， $z_n$ で表される点を $\mbox{P}_n$ とする． $7 \leqq n \leqq 48$ のとき， $\bigtriangleup\mbox{P}_n\mbox{OP}_{n+1}$ が $\angle\mbox{O}=\dfrac{\pi}{3}$ を満たす直角三角形となるような $n$ と $r$ をそれぞれ求めよ．また，そのときの $z_n$ の偏角 $\theta$ を $0 \leqq \theta < 2\pi$ の範囲で求めよ．

３．(大阪大)
$a$ を正の実数， $w=a(\cos 5^{\circ}+i\sin 5^{\circ})$ とする．ただし $i$ は虚数単位である．また，複素数の列 $\{z_n\}$ を $z_1=w,~z_{n+1}=z_nw^{2n+1}~(n=1,~2,~\cdots)$ で定める．
(1) $z_n$ が実数になるための必要十分条件は $n$ が6の倍数であることを示せ．
(2) 複素数平面で原点をOとし $z_n$ を表す点を $\mbox{P}_n$ とする． $1 \leqq n \leqq 17$ であるような $n$ について， $\bigtriangleup\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}$ が直角二等辺三角形となるような $n$ と $a$ を求めよ．

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