点列1

点列の問題です。

1.(神戸大)
\alpha=\cos\dfrac{360^{\circ}}{5}+i\sin\dfrac{360^{\circ}}{5}とする.ただし,iは虚数単位である.100個の複素数z_1,~z_2,~\cdots,~z_{100}z_1=\alpha,~z_n=z_{n-1}^3~(n=2,~\cdots,~100)で定める.
(1) z_5\alphaを用いて表せ.
(2) z_n=\alphaとなるようなnの個数を求めよ.
(3) \displaystyle{\sum_{n=1}^{100}}z_nの値を求めよ.

2.(静岡大)
iを虚数単位,rを1より大きい実数とし,w=r\left(\cos\dfrac{\pi}{24}+i\sin\dfrac{\pi}{24}\right)とおく.また,数列\{z_n\}を次の式で定める.
z_1=w,~z_{n+1}=z_nw^{n+2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
(1) z_2rを用いて表せ.
(2) z_nの偏角の1つをnを用いて表せ.
(3) 複素数平面で原点をO,z_nで表される点を\mbox{P}_nとする.7 \leqq n \leqq 48のとき,\bigtriangleup\mbox{P}_n\mbox{OP}_{n+1}\angle\mbox{O}=\dfrac{\pi}{3}を満たす直角三角形となるようなnrをそれぞれ求めよ.また,そのときのz_nの偏角\theta0 \leqq \theta < 2\piの範囲で求めよ.

3.(大阪大)
aを正の実数,w=a(\cos 5^{\circ}+i\sin 5^{\circ})とする.ただしiは虚数単位である.また,複素数の列\{z_n\}z_1=w,~z_{n+1}=z_nw^{2n+1}~(n=1,~2,~\cdots)で定める.
(1) z_nが実数になるための必要十分条件はnが6の倍数であることを示せ.
(2) 複素数平面で原点をOとしz_nを表す点を\mbox{P}_nとする.1 \leqq n \leqq 17であるようなnについて,\bigtriangleup\mbox{OP}_n\mbox{P}_{n+1}が直角二等辺三角形となるようなnaを求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ