点列2

1の続きです。拡大倍率と回転の部分を別々に考えるパターンです。

1.(一橋大)
複素数の数列\{z_n\}z_1=1,~z_{n+1}=\sqrt{2}(1+i)z_n^2~(n=1,~2,~\cdots)をみたす.
(1) |z_n|を求めよ.
(2) z_nを求めよ.

2.(前橋工科大)
2組の数列\{a_n\},~\{b_n\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)
a_0=1,~a_{n+1}=-a_n-\sqrt{3}b_n
b_0=0,~b_{n+1}=\sqrt{3}a_n-b_n
と定める.c_n=a_n+b_n i (ただし,iは虚数単位)とするとき,
(1) c_{n+1}c_nで表せ.
(2) |c_n|を求めよ.
(3) mを負でない整数とするとき,a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{3m+2}を求めよ.

3.(金沢大)
数列\{a_n\}\{b_n\}
a_1=b_1=2,
a_{n+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}a_n-\dfrac{\sqrt{6}}{4}b_n,~b_{n+1}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}a_n+\dfrac{\sqrt{2}}{4}b_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
を満たすものとする.a_nを実部としb_nを虚部とする複素数をz_nで表すとき,
(1) z_{n+1}=wz_nを満たす複素数wと,その絶対値|w|を求めよ.
(2) 複素数平面上で,点z_{n+1}は点z_nをどのように移動した点であるかを答えよ.
(3) 数列\{a_n\}\{b_n\}の一般項を求めよ.
(4) 複素数平面上の3点0,~z_n,~z_{n+1}を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形をT_nとする.このとき,複素数平面上でT_1,~T_2,~\cdots,~T_n,~\cdotsによって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ.

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