点列3

回転に着目する問題です。

1.(上智大)
z_1=1,~z_2=\sqrt{2}+\sqrt{2}i,~z_{n+2}=z_{n+1}z_n~(n=1,~2,~\cdots)で定義される複素数の数列\{z_n\}を考える.
(1) 複素数zの偏角を\arg zで表す.ただし,偏角は,その単位をラジアンとし,0 \leqq \arg z<2\piの範囲で表すものとする.このとき,\arg z_5=(~~~~~)\piである.n>1で初めて\arg z_n=0となるのは,n=(~~~~~)である.さらに\arg z_{57}=(~~~~~)\piとなる.
(2) 複素数zの絶対値を|z|で表す.このとき|z_5|=(~~~~~)である.さらに|z_{12}|=2^{(~~~)}となるので,z_{12}=(~~~~~)である.

2.(日本女子大)
複素数w=\cos 120^{\circ}+i\sin 120^{\circ}に対して,数列a_1,~a_2,~a_3,~\cdotsa_1=a_2=w,~a_n=a_{n-2}a_{n-1}~(n \geqq 3)により定める.
(1) a_{10}を求めよ.
(2) a_{51}を求めよ.

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