2項間漸化式

2項間漸化式の問題です。解き方は実数の場合と同様です。

1.(北海道大)
次の漸化式で定義される複素数の数列z_1=1,~z_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}z_n+1~(n=1,~2,~\cdots)を考える.ただし,iは虚数単位である.
(1) z_2,~z_3を求めよ.
(2) 上の漸化式をz_{n+1}-\alpha=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}(z_n-\alpha)と表したとき,複素数\alphaを求めよ.
(3) 一般項z_nを求めよ.
(4) z_n=-\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}となるような自然数nをすべて求めよ.

2.(名古屋大)
iを虚数単位とする.z_1=3および漸化式z_{n+1}=(1+i)z_n+i~(n \geqq 1)によって定まる複素数からなる数列\{z_n\}について,
(1) z_nを求めよ.
(2) すべての正の整数mについて,z_{8m-7}=2^{4m-2}-1となることを示せ.
(3) 複素数z_nが表す複素数平面の点を\mbox{P}_nとする.\mbox{P}_n,~\mbox{P}_{n+1},~\mbox{P}_{n+2}を3頂点とする三角形の面積を求めよ.

3.(広島大)
次の漸化式によって定まる複素数の数列\{v_n\}~(n=1,~2,~\cdots)を考える.
v_{n+1}=(2z+1)v_n-(1+i)z
ただし,zは0でない複素数で,v_1=1とする.
(1) 複素数の数列\{v_n\}~(n=1,~2,~\cdots)の一般項を求めよ.
(2) z=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}iならば,n=6k+1~(k=1,~2,~\cdots)のとき,v_nは実数であることを示せ.
(3) z=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}iならば,数列\{v_n\}~(n=1,~2,~\cdots)のよって定まる複素数平面上の点\mbox{P}_n(v_n)~(n=1,~2,~\cdots)はある円周上にあることを示し,その円の中心を表す複素数と半径を求めよ.

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