点列と共役

共役が絡んだ点列の問題です。

1.(同志社大)
i=\sqrt{-1}とし,\overline{z}zの共役複素数を表すとする.
(1) 複素数z=2+iに対して,複素数z_1=(1+\sqrt{3}i)\overline{z}の値を求めよ.
(2) 実数kと複素数z=1+ti (tは実数)に対して,次の等式が成立するk,~tの組をすべて求めよ.
(1+\sqrt{3}i)\overline{z}=kz
(3) 複素数w_1に対し,複素数w_2,~w_3w_2=(1+\sqrt{3}i)\overline{w_1},~w_3=(1+\sqrt{3}i)\overline{w_2}によって定める.w_3w_1を用いて表せ.
(4) (1)で求めたz_1に対して,複素数z_n~(n=2,~3,~\cdots)z_{n+1}=(1+\sqrt{3}i)\overline{z_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)によって定める.z_{2m-1}~(m=1,~2,~3,~\cdots)mを用いて表せ.

2.(三重大)
(1) z=x+yi (x,~yは実数)は0でない複素数とする.2z+i\overline{z}zの実数倍であるとき,yxを用いて表せ.
(2) z_1の実部が1で2z_1+i\overline{z_1}z_1の実数倍となる複素数とする.このような各z_1に対し,漸化式z_n=2z_{n-1}+i\overline{z_{n-1}}~(n=2,~3,~4,~\cdots)によって定義される数列\{z_n\}の一般項をz_1を用いて表せ.
(3) w_1=3+iであるとき,漸化式w_n=2w_{n-1}+i\overline{w_{n-1}}~(n=2,~3,~4,~\cdots)によって定義される数列\{w_n\}の一般項を求めよ.

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