3項間漸化式

3項間漸化式の問題です。

1.(名古屋市立大)
複素数平面上に点\mbox{A}_1(z_1), 点\mbox{A}_2(z_2), 点\mbox{A}_3(z_3),~\cdotsを次のように定義する.
nを自然数とする.z_1=0,~z_2=1として,n \geqq 2のとき点\mbox{A}_{n+1}は点\mbox{A}_nを点\mbox{A}_{n-1}のまわりに\thetaだけ回転した点とする.
このとき次の問いに答えよ.ただし,0<\theta<\piとする.
(1) z_{n+1},~z_n,~z_{n-1}~(n \geqq 2)の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) x_n=z_{n+1}-z_n~(n \geqq 1)とするとき,x_nを求め,さらにz_nを求めよ.
(3) \mbox{A}_1,~\mbox{A}_2,~\mbox{A}_3,~\cdotsの中に一致する点があるとき\thetaの値を求めよ.

2.(名古屋市立大)
偏角\thetaが0°より大きく90°より小さい複素数\alpha=\cos\theta+i\sin\thetaを考える.z_0=0,~z_1=1とし,z_k-z_{k-1}=\alpha(z_{k-1}-z_{k-2})~(k=2,~3,~4,~\cdots)により\{z_k\}を定義する.k \geqq 0に対し複素数z_kの表す複素数平面上の点を\mbox{P}_kとする.
(1) z_k\alphaを用いて表せ.
(2) 複素数\dfrac{1}{1-\alpha}が表す複素数平面上の点Aとするとき,\mbox{AP}_0=\mbox{AP}_1=\mbox{AP}_2が成り立つことを示せ.
(3) \mbox{P}_0,~\mbox{P}_1,~\mbox{P}_2,~\cdots,~\mbox{P}_k,~\cdotsは同一円周上にあることを示せ.

3.(一橋大)
複素数の数列\{z_n\}が次の条件で定められている.
z_1=0,~z_2=1,~z_{n+2}=(2+i)z_{n+1}-(1+i)z_n~(n=1,~2,~\cdots)
(1) \alpha=1+iとする.z_n\alphaを用いて表せ.
(2) |z_n| \leqq 4であるような最大のnを求めよ.

4.(東京大)
複素数平面上の点a_1,~a_2,~\cdots,~a_n,~\cdotsa_1=1,~a_2=i,~a_{n+2}=a_{n+1}+a_n~(n=1,~2,~\cdots)により定め,b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}~(n=1,~2,~\cdots)とおく.ただし,iは虚数単位である.
(1) 3点b_1,~b_2,~b_3を通る円Cの中心と半径を求めよ.
(2) すべての点b_n~(n=1,~2,~\cdots)は円Cの周上にあることを示せ.

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