その他

2018年9月4日

その他の漸化式の問題です。

1.(北海道大)
複素数a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)を次のように定める.
a_1=1+i,~a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n-3}
ただし,iは虚数単位である.このとき
(1) 複素数平面上の3点0,~a_1,~a_2を通る円の方程式を求めよ.
(2) すべてのa_nは(1)で求めた円上にあることを示せ.

2.(滋賀医大)
複素数a_1,~a_2,~a_3,~\cdots,~a_n,~\cdots
a_1=\dfrac{3+i}{3-i},~a_{n+1}=\dfrac{a_n-5}{1-5a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
で定める.また,b_n=\dfrac{a_n+1}{a_n-1}i~(n=1,~2,~\cdots)とおく.ただし,iは虚数単位である.
(1) b_{n+1}b_nを用いて表せ.
(2) b_nは実数であることを示せ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}|a_n+1|を求めよ.
(4) 複素数平面上において,すべての点a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)は同一円周上にあることを示せ.

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