数列の極限２

2017年1月15日2017年12月12日

次に一般項が無理関数であるタイプです。

１．(関西学院大)
数列 $\{a_n\}$ は初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=4n^3+6n^2-n~(n \geqq 1)$ で表されるとき，
(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
(2) 極限 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})$ を求めよ．
(3) $T_n=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}a_{2k}$ を求めよ．また， $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{T_n}{S_n}$ を求めよ．
(4) $U_k=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{a_k}$ を求めよ．また， $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}U_n$ を求めよ．

→解答

２．((1) 東京電機大　(2) 産業医大)
(1) 極限値 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^2}(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})}$ を求めよ．
(2) 数列の極限 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}}\{\sqrt[3]{(n^3-n^2)^2}-2n\cdot\sqrt[3]{n^3-n^2}+n^2\}$ の値を求めよ．